• Исаак Ньютон вывел три закона Кеплера движения планет, пользуясь одним только своим универсальным законом притяжения и анализом.
• Существует полная математическая теория преломления света (созданная Исааком Ньютоном, Уилбордом Снеллом и Пьером Ферма).
• Существует математическая теория распространения тепла.
• Существует математическая теория электромагнитных волн.
• Вся классическая теория поля из физики формулируется в математических терминах.
• Для анализа Эйнштейновских уравнений поля тоже используется математика.
• Движение падающих тел и снарядов полностью анализируется математическими методами.
• Технология обнаружения подводных лодок с использованием радаров и звуковых волн полностью основана на математике.
• Теория обработки и сжатия образов полностью основана на математике.
• Технология изготовления музыкальных компакт-дисков полностью основана на анализе Фурье и теории кодирования, а это области математики.
Этот список можно продолжать и продолжать.
Главное, что нужно понять, — доказательство лежит в самой сердцевине современной математики, именно оно делает ее надежной и воспроизводимой. Никакая другая наука не зависит от доказательств, и следовательно, никакая другая наука не обладает неуязвимой прочностью математики (об этом еще пойдет речь в разд. 1.10). Но применяется математика самыми разными способами, в широком спектре дисциплин. Приложений много, и они различаются. Другие дисциплины часто любят сводить свои теории к математике, поскольку это дает их субъекту определенное изящество и солидность, да и выглядит щегольски.
Нужно помнить про два аспекта доказательства. Во-первых, это наша lingua franca; это математический способ рассуждений. Эта наша испробованная методология для записи открытий в виде пошагового доказательства; она выдержит проверку временем. Доказательство — официальный сертификат истинности чего-либо. Во-вторых, а для практикующего математика в самых важных, доказательство новой теоремы может объяснять, почему результат верен. В конце концов, мы все ищем нового понимания, а «доказательство» дает нам этот золотой слиток. Прекрасное обсуждение этих идей можно найти в [BRE].
Можно долго рассуждать о том, что случается, когда первое положение из предыдущего абзаца выполняется, а второе нет. Предположим, некто строит доказательство теоремы A, и, похоже, оно верно, но никто его не понимает. Доказательство может быть создано блестящим авторитетом — у него безупречная репутация, он никогда не совершал ошибок, и мы вполне уверены, что доказательство продумано и заслуживает доверия. Но никто не может извлечь из него никакой пользы. Возможно, оно слишком техничное, слишком длинное, сложное или опирается на слишком большое количество различных идей из самых разных областей, так что никто не может разобраться в нем. Такое доказательство никому не принесет удачи, ведь никто не сможет узнать ничего нового из этого прорыва. Может быть, такая ситуация и не создается нарочно, но она приводит к «доказательству запугиванием». Компьютерные доказательства, которые мы обсудим позднее, тоже могут попадать в эту категорию.
Может случиться также, что второе положение выполняется без первого. В такой ситуации мы все верим результату, нам даже кажется, что мы его понимаем (по крайней мере эвристически), но мы осознаем, что канонизировать его еще рано. Программа геометризации Тёрстона попадала в эту категорию, существуют и другие примеры. Результаты такого типа до какой-то степени просвещают нас и даже могут вдохновить на другие открытия и доказательства, однако не вселяют того чувства уверенности, которого математики обычно добиваются. В этой книге мы уделим внимание и такой ситуации тоже.
Философы математики по-разному смотрят на вопросы уверенности в математике. Имре Лакатос в своей работе [LAK] высказывает мнение, что никакой результат в математике не может быть окончательным, что все постоянно находится в движении. В своей книге он описывает класс учащихся, пытавшихся открыть формулу Эйлера в топологии — множество попыток и фальстартов, приведших в конце концов к результату. Попутно выяснилось, что эвристики не менее важны, чем само доказательство. Не все математики придерживаются точки зрения Лакатоса, но она интересна и оказала широкое влияние.