Вопрос, который занимал философов математики много столетий, и особенно рьяно последние годы, звучит так: к какому виду следует отнести математическую деятельность — к платоническому или кантианскому? Как это понимать?
Платонический подход к миру заключается в том, что математические факты существуют независимо, сами по себе, как, собственно, классические идеалы Платона, а практикующие математики открывают эти факты примерно так же, как Колумб открыл Америку или Джонас Солк открыл вакцину от полиомиелита.
С кантианской точки зрения математики сами создают свой предмет. Идеи множества, группы или псевдовыпуклости — творение человеческого разума. Сами по себе они в природе не существуют. Мы (математическое сообщество) создали их.
Согласно моей собственной точке зрения, обе эти парадигмы имеют право на существование, и обе играют определенную роль в жизни любого математика. Одни математики обычно отправляются в свои офисы, сидят и размышляют или проверяют математические идеи, которые уже родились и их уже описали в журналах другие математики. А другие создают вещи с чистого листа: возможно, создают новые системы аксиоматики или определяют новые понятия, формулируют новые гипотезы. Эти два вида деятельности ни в коей мере не исключают друг друга, и оба дают свой вклад в плавильный котел математики.
Кантианская позиция поднимает интересный эпистемологический вопрос. Считаем ли мы, что математика создается заново каждым индивидуумом? Если это так, то найдутся сотни, если не тысячи разных индивидуумов, творящих математику изнутри. Как они могут общаться и делиться своими идеями? Или кантианский подход предполагает, что математика создается некоторым общим сознанием, агрегированным из всех математиков, а после этого каждому отдельному индивидууму остается только «открыть» то, что создает это агрегированное сознание? Это уже звучит очень платонически.
Платоническая точка зрения на действительность, как кажется, исходит из теизма. Если математические истины имеют независимое существование, обитая где-то там в вечности, то кто их создал? И как? Это какая-то высшая сила, с которой нам всем следует познакомиться поближе? Можно считать, что как только математическое понятие или система аксиоматизированы, все дальнейшие результаты платонически уже существуют, математикам остается только открыть их и их доказательства. Кантианская точка зрения исчезает где-то за горизонтом. Искусство математики заключается в том, чтобы понять, какие системы, теоремы и доказательства интересны.
Платонический подход отчасти превращает нас в физиков. Для физика нет большого смысла в том, чтобы изучать предмет, просто создавая понятия путем чистого измышления. На самом-то деле предполагается, что физик описывает окружающий мир. Физик вроде Стивена Хокинга, с творческой жилкой и воображением, способен выдумывать идеи вроде «черных дыр», «супергравитации» и «червоточин», но только с целью объяснить устройство вселенной. Все же это не сочинение сказок.
У всего сказанного есть философские следствия. Физики не считают делом чести доказывать то, что утверждают в своих исследовательских статьях. Они часто прибегают к другим способам рассуждения — от описания и аналогии до эксперимента и вычислений. Если мы, математики — платоники, описывающие мир, который «уже есть», то почему нам нельзя пользоваться теми же методами, которые применяют физики? Почему мы обречены доказывать?
Очень глубокое и вдохновенное обсуждение этих вопросов можно найти в [MAZ]. Потребуется некоторое время, чтобы получить ответы на вопросы, поднятые в этой работе.
1.9 Экспериментальная природа математики
Все, что было сказано в последних двух разделах, — точно и довольно полно, но не вполне правдиво. На самом деле экспериментированием математики занимаются. Как оно вписывается в строгую аксиоматическую методологию, которую мы описали? На самом деле до сих пор мы обсуждали, как в математике записывают результаты. Мы используем аксиоматический метод и доказательство с целью хранить наши идеи так, чтобы предмет изучения оставался надежным, воспроизводимым и безупречным. Математические идеи хорошо путешествуют и переносят проверку временем именно потому, что записываются в виде пошаговых доказательств. Но открытие математических фактов происходит совсем иначе. Практикующие математики делают открытия методом проб и ошибок: они работают над примерами, разговаривают с коллегами, выдвигают гипотезы, читают лекции, пытаются сформулировать результаты, меняют доказательства, выводят частичные результаты и ошибаются[24]. Не удаются, наверное, первые десять попыток сформулировать новую теорему. Посылки приходится модифицировать и иногда усиливать. Выводы тоже могут быть изменены или ослаблены. К теореме подбираются, осознают ее и формулируют методом проб и ошибок. Часто случается так, что опытный математик понимает, что нечто верно, может описать это в целом, но не может сформулировать точно. Практически невозможно сразу же записать строгую формулировку теоремы.
24
Есть такая старая шутка: математика дешево содержать, поскольку все, что ему нужно, — бумага, карандаш и мусорная корзина. Философ же обходится еще дешевле — ему даже мусорная корзина не нужна.