Хотя академически в субъекте математики правил немного и хотя всегда есть место для того, чтобы цвели тысячи цветов, в нашей дисциплине принято, что гипотезы выдвигают персоны с определенным весом. Если бы все вокруг принялись носиться со своими гипотезами, то субъект изучения превратился бы в хаотический водоворот, никто бы не знал, что истинно, а что ложно, все бы запутались, и прогресс бы замедлился. Так что негласно подразумевается, что не все люди выдвигают гипотезы, а только некоторые. Математик Саундерс Маклейн провозгласил этот принцип таким образом:
Гипотеза в математике существует и занимает почетное место с давних пор, но есть ясная традиция. Если математик действительно изучил предмет и продвинулся в нем, то он может сформулировать свою догадку в виде гипотезы, которая обычно принимает форму специально сформулированной теоремы…Но следующим шагом должно стать доказательство, а не дальнейшие спекуляции.
— Саундерс Маклейн
Иногда если выдающийся математик полагает, что он доказал значительный результат, а потом в доказательстве обнаруживается ошибка, то математическое сообщество может выказать свое почтение, назвав результат гипотезой, носящей имя автора. Так случилось с гипотезой Пуанкаре, мы обсудим ее позднее. Пуанкаре полагал, что доказал ее, но какое-то время спустя нашлась ошибка. Так что позднее математики — вслед за Анри Пуанкаре — склонны были верить в истинность этого результата, назвав его гипотезой Пуанкаре. Не так давно Григорию Перельману наконец-то удалось ее доказать (разд. 10.5).
Еще один пример математической гипотезы — гипотеза Римана. В своей статье [RIE] Риман ввел базовые идеи, связанные с дзета-функцией Римана. У него были соображения по расположению нулей этой функции (именно об этом идет речь в гипотезе Римана). Затем он сказал, что было бы желательно получить доказательства представленных утверждений, а в заключение отметил, что его собственные попытки доказательства оказались безуспешны. Он заявил, что не будет заниматься этими вопросами, так как они далеки от его основной цели (доказать теорему о простых числах). К сожалению, Риман умер, не успев выполнить свою миссию.
1.10.1 Прикладная математика
Приблизительно до 1960 г. подавляющее большинство математических работ в Соединенных Штатах относилось к чистой математике. В Европе была иная традиция. Исаак Ньютон и Пьер Ферма изучали оптику, Ньютон и Софья Ковалевская — небесную механику, Джордж Грин изучал математическую физику, Лаплас — небесную механику, Пуанкаре — механику жидкостей и специальную теорию относительности. Гаусс работал в геодезии и астрофизике, Тьюринг — в криптографии, а Коши даже помогал развивать оборудование портов, участвуя в подготовке Наполеоновского флота к вторжению в Англию. В истории математики есть и другие примеры того, как выдающиеся ученые интересовались также физикой и инженерными науками.
Но до 1960-х годов в Соединенных Штатах почти не было математических кафедр, сотрудники которых взаимодействовали бы с физическими или инженерными отделениями. В те дни математики довольствовались тем, что сидели в своих офисах и доказывали теоремы чистой математики. Иногда они развлекались болтовней с коллегами своего же математического отделения. Но сотрудничество тогда было скорее исключением, чем правилом, так что большинство математиков были аскетичными одинокими волками.
С начала 1970-х годов произошел значительный сдвиг в понимании того, какой должна быть современная математика. Правительственные фонды начали оказывать давление на университеты и отделения математики, чтобы те развивали «прикладную математику». Прикладной называют математику, которая используется для решения практических задач. Мы, математики, всегда говорили, что вся математика может стать прикладной; но этот процесс иногда затягивается, и не наше дело беспокоиться о том, на что годится математика, которой мы занимаемся, или как долго будут развиваться приложения[26]. Нам приятно перечислить все многочисленные приложения математики Исаака Ньютона, всю пользу, которую принесла математика Джорджа Грина, Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Всем известно, что Институт математических наук Куранта в Нью-Йорке — источник прекрасной прикладной математики. Этого должно быть достаточно для всей науки.
26
В своей очаровательной автобиографии [HAR] британский математик Г. Х. Харди хвалился, что он никогда не делал ничего полезного и никогда не будет делать.