Список вполне можно продолжить.
Можно сказать, что сегодня чистая и прикладная математики сосуществуют во взаимно полезном симбиозе. Они не просто терпят друг друга по соседству; они снабжают друг друга идеями и импульсами к развитию. Создается плодотворная рабочая атмосфера, она продолжает развиваться и расти.
Выше уже было сказано, что традиционно математик — волк-одиночка; в офисе или дома он в уединении обдумывает свои мысли и доказывает теоремы. До 1960 г. почти у всех опубликованных работ по математике был только один автор. Сейчас все иначе. В последние 15 лет подавляющее большинство математических работ было написано в сотрудничестве; математик, трудящийся в одиночку, — это, скорее, исключение. Почему так произошло?
Во-первых, симбиоз между чистым и прикладным мирами привел к тому, что люди стали больше общаться друг с другом. Автор этой книги занят в исследовательском проекте с пластическими хирургами. Они не разбираются в математике, а я не разбираюсь в пластической хирургии, так что сотрудничество просто необходимо. Мои коллеги работают с инженерами-химиками или физиками точно так же и по тем же причинам.
Нет никаких сомнений в том, что сотрудничество значительно возросло даже среди чистых математиков. Причина в том, что математика как целое стала гораздо сложнее. За последние сорок лет мы узнали о большом числе связей между различными областями математики. Поэтому у тополога все больше причин беседовать со специалистом по анализу, а у геометра — с экспертом в дифференциальных уравнениях. Следствием стал расцвет совместных работ, обогативших и углубивших нашу науку.
У математического сотрудничества есть также социологические и психологические следствия. Работа в одиночку у некоторых математиков вызывает трудности и даже депрессию. Сложные задачи иногда обескураживают и тогда легко возникает глубокое чувство изоляции, глубокой депрессии и неудачи. А хороший коллега может вернуть к жизни, приободрить и дать импульс работе. Мы как профессионалы познали ценность — профессиональную и эмоциональную — совместной работы и чувства локтя. Это хорошо для всех включенных в процесс. В книгах [KRA2] и [KRA3] обсуждается природа сотрудничества в математике.
1.11 Математическая неопределенность
В этом разделе мы углубимся еще в один аспект, в котором не были искренни до конца. Хотя во многих отношениях математика — самый надежный, безупречный и воспроизводимый набор идей среди когда-либо разработанных, в ней есть некоторые ловушки (см. [KLN]). В частности, в двадцатом столетии математике досталось пинков. Мы обсудим некоторые из них.
Начнем с основ. Когда мы записываем доказательство, так что его можно отправить в журнал, где его изучат, а главное (как мы надеемся) напечатают, мы полагаем, что в целом (математический) мир прочтет, оценит это доказательство и примет его. Это важная составная часть того процесса, который мы называем математикой: именно сообщество профессионалов в целом решает, что корректно и приемлемо, что полезно, интересно и значимо. Создатель новой математической идеи несет ответственность за то, чтобы представить ее математическому сообществу; и уже само сообщество решает, включать работу в канон или нет.
Написать математическую работу — пройти по узкой дорожке. Риторика современной математики подчиняется строгим правилам. С одной стороны, требуется следовать формальным правилам логики. Статья не должна содержать утверждений, принимаемых на веру, догадок или небрежностей. С другой стороны, если автор действительно будет включать каждый шаг, действительно упоминать каждое используемое правило логического вывода, не оставляя никаких пропусков, то даже самое простое рассуждение будет растянуто на несколько страниц, а для доказательства существенной математической теоремы их потребуются сотни. Это просто не пройдет. Большинство математических журналов не станут публиковать так много материала, с которым может ознакомиться так мало читателей. Так что на практике некоторые шаги опускаются. Как правило, это мелкие шаги (по крайней мере так считает автор), но для математика не редкость провести пару часов, восстанавливая шаги в длинной статье, в которой автор оставил что-то недосказанным[28].
Подытожим: обычно в доказательстве мы опускаем многие шаги. В принципе читатель может их восполнить. Обычно математики считают неприемлемым оставлять следы, по которым читатель может увидеть, как произошло открытие идеи. И мы твердо верим в пропущенные «очевидные шаги». Мы оставляем много подробностей читателю. Мы демонстрируем конечный продукт, изящный и сияющий. Для нас вовсе необязательно рассказывать читателю, как мы добрались до финишной прямой.
28
Описанная здесь ситуация в какой-то мере напоминает то, что происходит в лабораторных науках. Когда химик выполняет важный эксперимент и описывает его для публикации, это делается в телеграфном стиле. Смысл в том, чтобы в достаточной мере дать читателю понять, как был проведен эксперимент, чтобы при желании его можно было воспроизвести.