которое появляется в теореме Пифагора.
Рис. 2.1. Табличка Плимптон 322
Вавилоняне значительно продвинулись в различных областях математики. Еще в 1200 до н. э. они вычислили значение 
с точностью (как мы теперь говорим) до шести знаков после запятой[37]. Они не «доказывали» теорем в том смысле, который мы вкладываем в это слово сегодня, но у них имелись значительно развитые математические (а не только арифметические) идеи.
Великую традицию организации математики в теоремы[38] начал греческий мыслитель Евдокс (408–355 до н. э.). Евдокс был одним из первых, кто начал использовать это слово в математике. Хотя Евдокс многого достиг в строгости и точности своих математических формулировок, он ничего не доказывал. Формальное доказательство еще не стало традицией в математике. Как мы уже замечали, в те далекие дни математика была по большей части эвристической и эмпирической областью знания. Никому и никогда не приходило в голову, что что-то нужно доказывать. Если вы задаетесь вопросом, войдет ли некоторый стол в вашу столовую[39], вам нет нужды доказывать теорему: вы просто проверяете. Если вам интересно, хватит ли длины изгороди для вашего пастбища, вы не ищете строгих доводов; вы просто устанавливаете изгородь и выясняете, достигнута ли цель. В те далекие дни математики тесно работали с задачами такого типа. Поэтому математическое мышление было почти неотделимо от практического. Именно так его приверженцы смотрели на математические факты. Они были просто практической информацией, а их принятие и проверка — строго прагматичным делом.
2.2 Геометр Евклид
Евклид (325–265 до н. э.) считается первым ученым, который систематически организовал математику (точнее, существенную часть той математики, которая появилась до него), сформулировал определения и аксиомы, а также доказывал теоремы. Это был монументальный и совершенно оригинальный труд.
Не так знаменит Евклид (по сравнению с Архимедом и Пифагором) за свои оригинальные и глубокие прозрения, хотя некоторые важные теоремы и идеи носят его имя. Он оказал неизмеримое влияние на человеческую мысль. В конце концов, Евклид написал труд (включающий 13 книг), который дошел до нас под названием «Элементы» и к которому постоянно обращались на протяжении более 2000 лет, и который переиздавался много много раз. Его до сих пор подробно изучают, и он продолжает оказывать значительное влияние на наши представления о математике.
О жизни Евклида известно не так много, хотя можно быть уверенным, что у него была своя школа в Александрии. В то время имя Евклид было довольно обыкновенным, и в разных рассказах о математике Евклиде его путают с другими Евклидами (один из них — выдающийся философ). До наших дней дошла похвала Евклиду от Прокла, одного из последних греческих философов:
Не намного младше их [учеников Платона] Евклид, который собрал вместе «Элементы», упорядочив многие теоремы Евдокса, улучшив многие теоремы Теэтета, а также составив неопровержимые доказательства вещей, которые были не вполне доказаны его предшественниками. Этот человек жил во времена первого Птолемея; Архимед, который последовал сразу за первым Птолемеем, упоминает о Евклиде, а кроме того, говорят, что Птолемей однажды спросил его, существует ли способ выучить геометрию короче, чем его «Элементы», на что он ответил, что «в геометрии нет царского пути». Значит, он моложе окружения Платона, но старше Эратосфена и Архимеда; эти последние были современниками, как об этом где-то упоминает Эратосфен. По своим целям он был платоником, симпатизируя их философии, отчего он и включил в конце «Элементов» конструкцию так называемых платоновых тел.
Как это часто бывает с учеными, художниками и исследователями, достигшими значительных успехов, имеется несогласие и даже некоторые споры о том, кем или чем был Евклид в действительности. Существуют три версии:
• Евклид был историческим персонажем, одним человеком, который действительно написал «Элементы» и другие научные работы, которые обыкновенно ему приписывают;
• Евклид был лидером команды математиков, работавших в Александрии. Все они внесли свой вклад в создание тех трудов, которые теперь приписывают Евклиду. Они продолжали писать и распространять книги под именем Евклида даже после его смерти;
37
Эти вычисления можно найти в табличке YBC 7289. Разумеется, десятичной записью вавилоняне не пользовались.
39
Уильям Феллер (1906–1970), работавший в Принстонском университете, был блестящим математиком. Он один из создателей современной теории вероятностей. Однажды Феллер и его жена пытались передвинуть большой круглый стол из гостиной в столовую. Они толкали и тащили, поворачивали и разворачивали, но никак не могли продвинуть стол в дверной проем. Было похоже, что стол застрял намертво. Устав и отчаявшись, Феллер с карандашом и бумагой разработал математическую модель ситуации. Через несколько минут ему удалось доказать, что их попытки обречены на неудачу. Пока Уильям был занят этими махинациями, его жена не оставляла стараний, и ей удалось-таки передвинуть стол в столовую.