• Евклида как исторического персонажа никогда не существовало. Евклид был псевдонимом группы математиков, работавших в Александрии. Они черпали свое вдохновение от Евклида Мегарского (он-то был исторической фигурой), выдающегося философа, который жил приблизительно за сто лет до того периода, к которому принято относить жизнь Евклида.
Большинство исследователей сегодня придерживаются первой версии, что Евклид — один человек, создавший «Элементы». Но следует признать, что существуют доводы и в пользу других двух сценариев. Почти наверное у Евклида была серьезная математическая школа в Александрии, и вряд ли стоит сомневаться, что его ученики участвовали в его изысканиях.
Считается, что Евклид должен был учиться в Афинской академии Платона (430–349 до н. э.), так как в то время вряд ли могло найтись другое место, где можно было узнать о геометрии Евдокса и Теэтета, на которой основаны «Элементы».
Есть еще одна знаменитая история[40] про Евклида: один ученик его школы в Александрии пришел к Евклиду, изучив первое утверждение из геометрии «Элементов». Он хотел знать, что получит в результате напряженного учения, выполнив всю необходимую работу и выучив все теоремы геометрии. На это Евклид подозвал своего раба и сказал ему: «Дай ему три драхмы, раз он хочет извлекать прибыль из учебы».
В Евклидовых «Элементах» важна созданная в них парадигма того, как математику следует изучать и записывать. Евклид начал с некоторых определений терминов и идей геометрии, а затем записал пять постулатов (или аксиом). По одной из версий постулаты выглядят так:
P1. Через любую пару различных точек проходит прямая.
P2. Для любого отрезка 
и любого отрезка 
существует единственная точка E (на прямой, определенной точками A и B ) такая, что B лежит между A и E, а отрезок конгруэнтен отрезку 
(рис. 2.2).
Рис. 2.2. Второй постулат Евклида
P3. Для любой точки C и любой точки A, отличной от C, существует окружность с центром C и радиусом CA, (рис. 2.3,а).
P4. Все прямые углы конгруэнтны (рис. 2.3,б).
Рис. 2.3. Окружность и прямой угол
Это стандартные аксиомы, которые выражают наше понимание евклидовой геометрии. Пятая аксиома — предмет интенсивного изучения на протяжении 2000 лет — это так называемый постулат о параллельных (мы даем его в формулировке Плейфэра):
P5. Для каждой прямой l и каждой точки P, не лежащей на l, существует единственная прямая l′, проходящая через P и такая, что l′ параллельна l (рис. 2.4).
Рис. 2.4. Постулат о параллельных
Перед тем как провозгласить знаменитые пять аксиом, Евклид определил точку, прямую, окружность и другие термины, которые он использует. Хотя Евклид спокойно делал заимствования у более ранних и современных ему математиков, считается, что постулат о параллельных, т. е. постулат P5, — его личное творение.
Однако следует отметить, что «Элементы» — не просто изложение геометрии на плоскости. На самом деле книги VII–IX посвящены теории чисел, там Евклид доказал свой знаменитый результат о том, что простых чисел бесконечно много (мы с ним еще встретимся), а также разработал знаменитый «алгоритм Евклида» деления с остатком. В книге X идет речь об иррациональных числах, а книги XI–XIII посвящены геометрии трехмерного пространства. Короче говоря, «Элементы» Евклида — исчерпывающее собрание большей части математики, известной к тому времени. Она представлена в строгой, точной, аксиоматической манере, которая задала канон — так математика записывается и изучается и в наши дни. «Элементы» Евклида замечательны ясностью, с которой формулируются и доказываются теоремы. Стандарты строгости, которые установил Евклид, стали моделью для создателей анализа почти 2000 лет спустя.
Знаменитый алгебраист Б. Л. ван дер Варден (1903–1996) описывает влияние «Элементов» Евклида следующим образом:
С момента написания и почти до настоящего времени «Элементы» оказывали непрерывное и мощное влияние на человеческую деятельность. Это был главный источник геометрического вывода, теорем и методов по крайней мере до изобретения неевклидовой геометрии в XIX в. Иногда говорят, что после Библии «Элементы» — наиболее переводимая, публикуемая и изучаемая книга западного мира.