И правда, «Элементы» Евклида выдержали более 1000 изданий. Можно усомниться в том, что Евклид был и до сих пор остается самым важным и самым влиятельным учителем геометрии всех времен. Остается лишь добавить, что до нас дошло еще несколько книг Евклида. Это «Данные» (где изучаются геометрические свойства фигур), «О делении» (где изучается деление геометрических фигур на более мелкие с заданным отношением площадей), «Оптика» (это первый греческий труд о перспективе) и «Явления» (представляет собой элементарное введение в математическую астрономию). Некоторые книги Евклида, включая «Поверхностные места», «Поризмы», «Конические сечения», «Псевдария» и «Деление канона», утеряны.
Теория чисел имеет дело со свойствами целых чисел 1, 2, 3, ... Правда ли, что простых чисел бесконечно много? Как они распределены? Можно ли любое число больше 4 записать в виде суммы двух нечетных простых? Если N — большое положительное число, то сколько найдется простых чисел, которые меньше или равны N? Это серьезные, классические вопросы. На некоторые из них ответ уже получен, на другие — нет. В наши дни теория чисел играет жизненно важную роль в криптографии. Более 2000 математиков с научной степенью работают в этой области на The National Security Agency, Washington, D. C.
2.2.1 Специалист в теории чисел Евклид
Для большинства из нас евклидовы «Элементы» — геометрический труд. А на самом-то деле книги VII–IX посвящены теории чисел. Один из результатов, представленных там, выдержал проверку временем, и его доказательство в наши дни изучают все студенты-математики. Сейчас мы его обсудим.
Напомним, что простое число — это положительное целое число, у которого нет делителей, кроме единицы и самого себя. По традиции число 1 не считается простым. Так что к простым относятся числа
Все числа, которые непросты и больше 1, называются составными. Например, 126 — составное число. Действительно,
Это явно не простое число. Любое составное число единственным образом можно разложить в произведение простых делителей. Это утверждает основная теорема арифметики.
Евклид задался таким вопросом (в отличие от многих других результатов в «Элементах» этот, по-видимому, принадлежит самому Евклиду): конечно или бесконечно количество простых чисел? Драматический ответ Евклида — да.
Теорема. Простых чисел бесконечно много.
Чтобы доказать эту теорему, предположим обратное. Пусть простых чисел конечное количество. Обозначим их p1, p2,..., pN. А теперь рассмотрим число P=(p1•p2 •...• pN)+1. Что это за число? Простое или составное? Если мы разделим его на p1, то получим в остатке 1 (поскольку на p1 делится произведение p1•p2 •...• pN). Кроме того, если мы разделим P на p2, в остатке опять получится 1. То же самое произойдет, если разделить P на p3. Если бы число P было составным, оно бы делилось нацело на какое-нибудь простое. Но мы только что показали, что это не имеет места, — мы делили P на все известные простые числа и каждый раз получали ненулевой остаток. Остается только сделать вывод, что P — еще одно простое число, которое, конечно же, больше любого простого числа из исходного списка. Мы пришли к противоречию. Поэтому простых чисел обязательно бесконечно много. Их должно быть бесконечно много.
Это доказательство Евклида — один из первых примеров доказательства от противного[41]. Этот важный метод формального доказательства действительно был довольно-таки противоречивым на протяжении многих лет. Мы обсудим его довольно подробно позднее.
2.3 Пифагор
Пифагор (569–500 до н. э.) — это и человек, и общество (т. е. пифагорейцы). Еще он был политическим деятелем и мистиком. Кроме всего прочего, он выделялся из современников еще и тем, что включал в свою работу женщин наравне с мужчинами. Один критик охарактеризовал его таким словами: «На одну десятую гениальности, а на девять десятых чистого вздора». По легенде, Пифагор умер в пламени своей собственной школы, которую подожгли его политические и религиозные противники. Они восстанавливали народные массы против просвещения, которое жаждал принести Пифагор.
Пифагорейское общество было по природе очень математическим, но заодно еще квазирелигиозным. Среди его заповедей (в соответствии с [RUS]) были такие:
• воздерживайся от бобов;
41
Существует много других способов доказать результат Евклида, включая прямое доказательство и индукцию. Иначе говоря, не обязательно было прибегать к доказательству от противного.