• не поднимай то, что упало;
• не касайся белого петуха;
• не преломляй хлебы;
• не перешагивай через поперечину;
• не мешай огонь железом;
• не откусывай от целого хлеба;
• не трогай венки;
• не сиди на мере емкостью в одну кварту;
• не ешь сердца;
• не ходи по широкому пути;
• не позволяй ласточкам вить гнездо на крыше;
• если снимаешь горшок с огня, не оставляй следа на золе, но размешай ее;
• не смотри в зеркало возле света;
• когда встаешь ото сна, сверни постель и не оставляй отпечатка тела.
Пифагорейцы создали дух страсти, который мы сразу же замечаем:
Благослови нас, божественное Число, Ты, кто рождаешь богов и людей.
и еще:
Миром правит число.
Пифагорейцев помнят за два монументальных вклада в математику. Во-первых, за признание важности и необходимости доказательств в математике: пифагорейцы считали, что математические утверждения, в особенности геометрические, должны быть установлены путем строгого доказательства. До Пифагора геометрические идеи представляли собой эмпирически выведенные правила, полученные обычно путем наблюдения и (изредка) измерения. Кроме того, Пифагор ввел в обиход представление о том, что большая область математики (такая как геометрия) может быть выведена из малого числа постулатов. Очевидно, Пифагор оказал влияние на Евклида.
Второй важный вклад Пифагора — открытие и доказательство того факта, что не все числа соизмеримы. Следует уточнить: до Пифагора греки верили с глубокой страстью, что все построено на целых числах. Дроби возникают очень конкретно: как отношения сторон треугольника с целыми длинами (и потому они соизмеримы; в наше время вместо этого употребляется термин «рациональны», рис. 2.5).
Пифагор доказал результат, который мы называем теоремой Пифагора. Она гласит, что катеты a, b и гипотенуза c прямоугольного треугольника (рис. 2.6) связаны формулой
Рис. 2.5. Дробь 
Рис. 2.6. Теорема Пифагора
Возможно, что у этой теоремы имеется доказательств больше, чем у любого другого математического результата — более 50. На самом деле это одно из древнейших математических открытий. По-видимому, оно было известно в Древнем Вавилоне и Китае по крайней мере за пять столетий до Пифагора.
Как это ни удивительно, одно из доказательств теоремы Пифагора было построено американским президентом Джеймсом Гарфилдом (1831–1881). Мы же сейчас приведем одно из простейших рассуждений, ставшее классическим.
Рассмотрим рис. 2.7. Заметим, что большой квадрат состоит из четырех прямоугольных треугольников и меньшего квадрата. Катеты каждого треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c, как в теореме Пифагора. С одной стороны, площадь большого квадрата равна c2. С другой стороны, площадь большого квадрата равна сумме площадей составляющих его фигур.
Рис. 2.7. Доказательство теоремы Пифагора
Итак, мы можем записать:
c2 = (площадь большого квадрата) = (площадь треугольника) + (площадь треугольника) + (площадь треугольника) + (площадь треугольника) + (площадь малого квадрата) =
Доказательство закончено. □
Согласно одной из легенд, у древних египтян обыкновенно использовался такой инструмент — веревка, на которой через 12 равных промежутков были завязаны узлы. Такая веревка предназначалась для того, чтобы отмерять треугольник со сторонами 3, 4, 5 (рис. 2.8). Так египтяне пользовались теоремой Пифагора для построения прямых углов.
Рис. 2.8. Пифагорова веревка египтян
Пифагор заметил, что если a=1 и b=1, то c2=2; он поставил вопрос: существует ли рациональное число c, удовлетворяющее последнему равенству. Результат был поразительным.
Теорема. Не существует рационального числа c такого, что c2=2.
Пифагор утверждает, что гипотенуза прямоугольного треугольника с единичными катетами иррациональна. Это глубокое и тревожное наблюдение!
Доказательство теоремы. Предположим, что утверждение ложно. Тогда существует рациональное число 
, записанное в виде несократимой дроби (т. е. α и β — целые числа, не имеющие общих делителей) такое, что c2=2. Это можно записать еще так: