или
Видно, что в правой части стоит четное число; значит, в левой части тоже. Раз α четно, α=2m для некоторого целого m. А тогда
или
Теперь четна левая часть, а значит, и β2. Следовательно, четно число β. В таком случае четны оба числа α и β; у них есть общий делитель — 2. Это противоречит предположению о том, что α и β не имеют общих делителей, так что c не может быть рациональным числом. Значит, оно иррациональное. □
Апостолом было найдено и чисто геометрическое доказательство иррациональности числа 
, см. [BAB1, с. 73]. Пифагорейцы осознавали глубину и потенциальную социальную важность этого открытия. К тому времени в сознании греков укоренилось убеждение в том, что все числа рациональны. Провозгласить обратное было почти ересью. Какое-то время пифагорейцы хранили новое открытие в секрете. В конце концов, по крайней мере так гласит легенда, невежественными ордами мародеров пифагорейцы были уничтожены. Но их универсальные идеи живут и сейчас.
Глава 3.
Средние века и акцент на вычислениях
В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики.
Ибо, как с обширными пространствами современной математики могут сравниться жалкие лоскуты, — отдельные неполные и бессвязные результаты, полученные интуиционистами?
Последовательность для понимания математики может быть такой:
интуиция, пробы и ошибки, размышления, гипотезы, доказательство.
Комбинация и последовательность этих событий отличаются в разных областях, но принято считать, что конечный продукт — это строгое доказательство, которое мы знаем и можем одобрить без формального совета логиков.
Действительно, каждый математик знает, что доказательство осталось «не понятым», если все, что сделано, — это пошаговая проверка правильности умозаключений, из которых оно состоит, и не предпринято никаких попыток получить ясное представление об идеях, которые привели к построению именно этой, а не иной цепочки рассуждений.
3.1 Влияние ислама на математику
История Ближнего Востока и мусульманства сложна и запутанна, в ней много белых пятен. Религия ислама зародилась в Аравии и сохраняется там до сих пор. То, что одни называют «арабской математикой», другие назвали бы «исламской» или «мусульманской» математикой. Одна из важнейших фигур, которые мы будем обсуждать, — Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми. Насколько известно, он родился в Багдаде около 780 г. Так что мы не очень промахнемся, если назовем его арабом, но чаще его относят к исламским математикам или персидским математикам. По-видимому, мусульманская культура была движущей силой многих прорывов средневековья. Так что мы будем придерживаться названия «исламская математика».
В начале седьмого века мусульмане образовывали небольшую гонимую секту. Но к концу того же века под предводительством Мухаммада они завоевали земли от Индии до Испании, включая Северную Африку и Южную Италию. Считается, что когда арабские завоеватели основывали новые города, они стали подвержены болезням, с которыми не сталкивались раньше, когда жили в пустыне. В те дни медициной занимались преимущественно греки и иудеи. Поощряемые калифами (так назывались лидеры исламского мира), эти доктора селились в Багдаде, Дамаске и других городах. Это пример того, как чисто социальная ситуация привела к контактам двух различных культур, что в конце концов привело к передаче математических знаний.
Около 800 г. калиф Гарун Аль-Рашид заказал перевод на арабский язык многих трудов Гиппократа, Аристотеля и Галена. Спустя долгое время в XII в. эти арабские переводы были переведены еще раз, теперь уже на латынь, чтобы сделать их доступными европейцам. Сегодня мы благодарим мусульман за сохранение великой греческой традиции в математике и естественных науках. Без их усилий многие классические труды были бы утеряны.
3.2 Развитие алгебры
3.2.1 Аль-Хорезми и основания алгебры
Принято считать, что зачатки алгебры появились у индусов. В частности, Арья-Бхата в пятом веке и Брахмагупта в шестом и седьмом веках сыграли важную роль в развитии алгебраических идей. Среди достижений этих математиков следует упомянуть суммирование первых N положительных целых чисел, а заодно их квадратов и кубов (мы будем обсуждать это в гл. 12).