Главной целью всех исследований внешнего мира должно быть открытие рационального порядка и гармонии, которые Бог ниспослал миру и поведал нам на языке математики.
Терьер может не суметь дать определение крысы, но узнает ее, когда увидит.
1.1 Кто такой математик?
Как-то раз я услыхал, как благонамеренная мамаша рассказывала своему малышу, что математик — это человек, который занимается «научной арифметикой». А есть люди, которые полагают, что математик — это тот, кто целыми днями не отрывается от компьютера.
Рис. 1.1. «Я думаю, шаг 2 нужно описать подробнее» (© Sidney Harris, www.sciencecartoonsplus.com)
Нельзя сказать, что такие представления совсем уж неверны, однако они даже близко не подходят к сути такого явления, как математик. Перефразируя слова математика и лингвиста Кита Девлина [DEV1], мы замечаем, что математик — это тот, кто
• наблюдает и интерпретирует явления;
• анализирует научные явления и информацию;
• формулирует концепции;
• обобщает концепции;
• проводит рассуждения по индукции;
• проводит рассуждения по аналогии;
• прибегает к методу проб и ошибок (и оценивает их);
• моделирует идеи и явления;
• формулирует задачи;
• абстрагируется от задач;
• решает задачи;
• пользуется вычислениями, чтобы делать аналитические выводы;
• делает дедуктивные выводы;
• строит догадки;
• доказывает теоремы.
И даже этот список неполон. Математик должен в совершенстве владеть критическим мышлением, анализом, дедуктивной логикой. Эти умения универсальны, они могут применяться в самых разных ситуациях и в самых разных областях знания. В наше время математические умения широко используются в медицине, физике, юриспруденции, коммерции, интернет-дизайне, техническом проектировании, химии, биологии, социальных науках, антропологии, генетике, производстве оружия, криптографии, пластической хирургии, анализе безопасности, обработке данных, компьютерных и многих других науках и практических приложениях.
Одно из поразительных и бурных приложений математики возникло всего каких-то двадцать лет назад — это финансовая математика. Работа Фишера Блэка из Гарварда и Мирона Сколеса из Станфорда привела к первому методу установления цены на опционы. Найденный метод базируется на теории стохастических интегралов — разделе абстрактной теории вероятностей. В результате во всем мире инвестиционные фирмы стали нанимать в штат докторов наук по математике. Когда на математических факультетах преподают курс теории меры — раньше его слушали исключительно для того, чтобы сдать экзамен на научную степень, — приходит удивительно много слушателей, в основном студенты экономико-финансовых специальностей.
Математика очень повлияла и на другую область современной науки, в которой работает значительное число математиков с очень высоким уровнем образования, — это генетика и проект «геном». Многие люди до сих пор не осознают, что спираль ДНК может включать миллиарды генов. Находить соответствия генетических маркеров — вовсе не то же самое, что искать пару для носка; приходится привлекать вероятностные соображения. Поэтому над проектом «геном» работает много математиков с ученой степенью.
В этой книге мы будем работать над понятием математического доказательства. Хотя большинство математиков проводят немного времени за доказательством теорем[6], однако доказательство — это lingua franca математики. Это связующая нить, которая собирает все воедино. Именно доказательство вдыхает в математику жизнь и гарантирует бессмертие математическим идеям (см. [CEL], где понятие доказательства рассматривается с философской точки зрения).
Нет ни одной другой естественнонаучной или аналитической дисциплины, где доказательство использовалось бы с такой же готовностью и привычкой, как в математике. Это орудие делает теоретическую математику особенной: проложенная с тщанием дорога, которая следует строгим аналитическим правилам и неуклонно ведет к определенному выводу. Доказательство — это наше орудие для установления абсолютной и безупречной истинности математических утверждений. Именно поэтому мы можем опираться на математику Евклида, созданную 2300 лет назад, с той же готовностью, что и на современную. Ни в одной другой дисциплине это невозможно (хотя много интересного по этому вопросу можно найти в разд. 1.10).
6
Это объясняется тем, что очень много математиков работают не в университетах. Вместо этого они работают (например) в NSA (Агентство национальной безопасности) или NASA (Национальное управление по аэронавтике и исследованию космического пространства), или Hughes Aircraft, или Lawrence Berkeley Labs, или в Microsoft. Широко распространено мнение, что большинство специалистов в математических науках — ненастоящие математики, но так думают не все.