Эти вопросы заставили античных математиков размышлять о природе математического доказательства. Фалес (640–546 до н. э.), Евдокс (408–355 до н. э.) и Теэтет Афинский (417–369 до н. э.) формулировали теоремы как формальные объявления некоторых идей, которые они хотели провозгласить как факты или истины. Считается, что Фалес доказал некоторые из этих теорем в геометрии (а позднее они были включены в более широкую систему Евклидом). Теорема — это формальное провозглашение математиком некоторого факта или истины. Но Евдоксу не удалось найти способ доказать свои теоремы. Его труды имели явный практический уклон, и он слишком увлекался вычислениями.
Впервые нынешний способ размышлять о математике был формализован Евклидом Александрийским. Вначале он дал определения, затем аксиомы, а потом уже теоремы — именно в таком порядке. Нельзя не согласиться, что Евклид создал парадигму, которой следовали все математики на протяжении 2300 лет. Это была правильная математика. Чтобы справиться с проблемой бесконечных логических цепочек, мы, следуя Евклиду, начнем с того, что примем набор определений и набор аксиом.
Что такое определение? Определение объясняет смысл какого-то термина, но даже с таким простым подходом связаны аналитические проблемы. Взять хотя бы первое определение, которое мы собираемся сформулировать. Предположим, что мы хотим определить прямоугольник. Это будет первый термин в нашей математической системе. Какие слова мы можем использовать? Скажем, мы определяем прямоугольник через точки, прямые и плоскости. Неизбежно встают вопросы: что такое точка? что такое прямая? что такое плоскость?
Рис. 1.6. Урок чтения формул в Музее Математики (© Sidney Harris, www.sciencecartoonsplus.com)
Ясно, что наше первое определение (определения) должно быть сформулировано в терминах общепринятых слов, которые не требуют дальнейших объяснений. Аристотель (384–322 до н. э.) настаивал на том, что определение должно описывать определяемое понятие в терминах уже известных понятий. Часто это вызывает заметные трудности. Например, Евклид определял точку как нечто, не имеющее частей. При этом, чтобы объяснить точное математическое понятие «точка», ему пришлось использовать нематематические слова, относящиеся к повседневной речи.[7] Как только «точка» определена, этот термин можно использовать в других определениях. А затем можно пользоваться повседневным языком, не требующим дальнейших объяснений. Так мы строим систему определений.
Определения дают нам язык для занятий математикой. Мы формулируем наши результаты, или теоремы, пользуясь словами, введенными в определениях. Хотя нет, к теоремам мы еще не готовы — мы еще не установили краеугольный камень, на котором будет основана наша теория вывода. Нам нужны аксиомы.
Что такое аксиома? Аксиома[8] (или постулат[9]) — это математическое выражение факта, который считается самоочевидным, сформулированное с использованием терминологии, введенной в принятых определениях. Аксиомы не доказывают. Их считают данными, такими очевидными и заслуживающими доверия, что никаких доказательств для них не требуется.
Аксиомы можно использовать, чтобы объяснять основания. Это идеи в основании предмета исследования; их содержание считается ясным или самоочевидным. Подчеркнем еще раз: проверить утверждения аксиом нельзя. Они даются для удовольствия читателя; подразумевается, что они будут использованы далее для доказательства математических результатов. Одна из самых известных аксиом во всей математике — постулат о параллельных Евклида. Этот постулат (в формулировке Плейфэра[10]) утверждает, что если P — точка, а l — прямая, не проходящая через эту точку, то существует единственная прямая l′, проходящая через точку P и параллельная l (рис. 1.7). Постулат о параллельных стал частью евклидовой геометрии 2300 лет назад. И больше двух тысяч лет было неизвестно, действительно ли это утверждение следовало объявить аксиомой. Нельзя ли его вывести из других четырех аксиом геометрии (подробный разбор аксиом Евклида проведен в разд. 2.2). Были предприняты невероятные усилия, чтобы построить такое доказательство, было сделано много знаменитых ошибок (историю этого вопроса см. в [GRE]). Но в 1820-х гг. Янош Бойяи и Николай Лобачевский установили, что постулат о параллельных доказать нельзя, и тому есть поразительная причина — существуют модели геометрии, в которых все остальные аксиомы Евклида выполняются, однако постулат о параллельных неверен. Так что этот постулат — одна из аксиом нашей самой привычной геометрии.
7
Среди тех, кто занимается основаниями математики, принято те понятия, которые определяются нематематическим языком (т. е. те, которые нельзя определить через другие математические термины), называть неопределяемыми. Так, к неопределяемым относится понятие «множество», которое мы обсудим позднее; а также «точка».
9
Слово «постулат» появилось в средневековой латыни, оно означает «называть» или «требовать».
10
Джон Плейфэр (1748–1819) — геометр из Эдинбургского университета. Многие не отдают себе отчета, что евклидова геометрия, как мы знаем ее сегодня, — вовсе не та, что создавал Евклид. Плейфэр, Гильберт и многие другие поработали над тем, чтобы сделать ее более современной и последовательной.