На языке математики ответ записывается так:
Следующий рисунок иллюстрирует геометрический метод вычисления искомой площади, который завершается переходом к пределу. Суть этого метода заключается в построении последовательности прямоугольников, как в ранее приведенном примере с картой и листом бумаги, разделенном на квадраты. Вычислив сумму площадей построенных прямоугольников, можно найти приближенное значение площади фигуры. Площадь этой фигуры можно покрыть прямоугольниками сверху или снизу (полученная площадь будет соответственно больше или меньше искомой площади фигуры).
Покрытие пятью прямоугольниками сверху и двенадцатью прямоугольниками снизу (в этом случае первый прямоугольник не виден, так как имеет нулевую высоту).
Основная теорема анализа, открытая Ньютоном и Лейбницем, связывает операции дифференцирования и интегрирования. Применив эту теорему к функции f(x) = √x график которой ограничивает рассматриваемую фигуру, получим первообразную функцию
Необходимо вычислить значения этой функции на концах рассматриваемого отрезка (в нашем случае — в точках 0 и 1), после чего найти разность F(1) — F(0). Таким образом, точное значение площади фигуры, ограниченной кривой, вычисляется следующим образом
Возведение в куб
Кубом называется не только правильный многогранник, каждая сторона которого представляет собой квадрат, но и результат умножения числа на само себя трижды, то есть возведения в третью степень. Это совпадение не случайно — если мы возведем число в третью степень, то есть умножим его на само себя трижды, то получим объем куба, сторона которого выражается этим числом.
Если с квадратурой была связана классическая древнегреческая задача о квадратуре круга, то с возведением в куб — задача об удвоении куба. По легенде, эпидемия чумы, разразившаяся в Афинах в 428 году до н. э., так напугала горожан, что афинским правителям пришлось обратиться за помощью к богу Аполлону. Дельфийский оракул при храме Аполлона сказал, что если построить жертвенник в два раза большего объема, чем тот, что находился в храме Аполлона, то чума прекратится. Хотя со временем эпидемия затихла сама собой, все попытки построить жертвенник в два раза большего объема потерпели неудачу.
Еврипид в одном из своих произведений так описал задачу об удвоении куба. Царь Минос при постройке гробницы своего сына Главка объявил, что мавзолей кубической формы с длиной стороны в сто шагов слишком мал для царского сына, и повелел удвоить его объем, сохранив прежнюю форму, для чего потребовал увеличить сторону мавзолея вдвое. Минос допустил грубую ошибку: если удвоить сторону куба, то объем полученного куба будет не в два, а в восемь раз больше исходного.
Древнегреческие математики не располагали современной алгебраической нотацией и должны были решить задачу об удвоении куба исключительно при помощи циркуля и линейки. Чтобы найти сторону х квадрата, площадь которого в два раза больше площади квадрата со стороной а, они вычисляли среднее пропорциональное а и 2а:
a/x = x/2a, следовательно, x√2 = a
Эта же идея была применена и для решения задачи об удвоении куба. Было показано, что решение задачи сводилось к вычислению двух средних пропорциональных а и 2а. Чтобы удвоить куб со стороной а, нужно найти сторону х куба, объем которого будет равен 
Если удастся найти значения х и у, которые будут средними пропорциональными а и 2а согласно следующему равенству:
a/x = x/y = y/2a
то задача будет решена. Этот метод решения, при котором исходная задача сводится к другой, более простой, весьма характерен для математики. Новая задача заключается в том, чтобы найти эти два средних пропорциональных.
Помимо задачи об удвоении куба, древнегреческих математиков интересовали и другие задачи, связанные с объемом тел. Согласно Архимеду, Евдокс доказал, что объем конуса равен трети объема цилиндра того же основания и высоты. Архимед доказал, что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, один катет которого равен радиусу круга, а длина другого равна длине окружности. Он также выразил объем шара через объем цилиндра и конуса.