Сделаю маленькое отступление. Феномен Пиаже (несохранение количества) обычно интерпретируется как свидетельство несовершенства, незрелости детского мышления. Однако, его можно интерпретировать и по — другому. В несохранении количества сказывается та же особенность понимания ребенка, отличная от понимания современного взрослого и близкая к античности, которую мы видим в понимании числа. Когда ребенок видит, как жидкость переливают из широкого сосуда в узкий, и тем не менее считает, что количество ее изменилось, он демонстрирует то же стремление понять предмет в его уникальности, через его неподвижную форму, понять «количество, наглядно, качественно представляемое.» Отказываясь понять, что количество жидкости остается неизменным, в то время как он видит, что жидкость не исчезает и не прибавляется, ребенок проявляет своеобразное тождество и разрыв между наивно — диалектическим воззрением на мир как на текучий и меняющийся и пониманием мира как неподвижной формы, Весьма близкое к «тождеству наивно — диалектического представления о мире (предмете) и однозначного понимания этого мира как «формы форм», которое «составляет специфику античного проникновения в сущность вещей.» К школе этот феномен уже разрушается (а специальными процедурами его можно снять и в дошкольном возрасте), но, как мы видели, аналогичные феномены сохраняются и в других областях (в понятии числа).
То обстоятельство, что к шести — семи годам у ребенка уже разрушается феномен Пиаже, связанный с несохранением количества (появляется представление о величине, независимой от формы) и одновременно с этим сохраняются указанные феномены, связанные с натуральным числом, дает интересную возможность — столкнуть понимание числа как средства измерения и числа как средства счета. При таком столкновении число перестает быть средством того или другого действия и становится целью — предметом понимания, загадкой. такое столкновение, с одной стороны, соответствует наличным представлениям и способам понимания ребенка, с другой стороны, является по — настоящему культурным, отвечающим проблемам, связанным с понятием числа как в истории математики (ср.: «То или другое количество есть множество, если его можно счесть; величина — если его можно измерить.»), так и в современной математике («Натуральное (целое положительное) число является орудием счета предметов, рациональное и действительное число — орудием измерения величин.»).
При таком столкновении ребенок ставится «в ситуацию промежутка различных пониманий числа», при этом сами эти различные понимания числа только при таком столкновении могут быть доведены до культурных способов понимания, а число представлено как «точка удивления», как предмет собственного понимания, а не действия, представления и т. п. «Как мы говорили, все начинают с удивления, обстоит ли дело таким именно образом, как удивляются, например, загадочным самодвижущимся игрушкам, или солнцеворотам, или несоизмеримости диагонали, ибо всем, кто не усмотрел еще причину, кажется удивительным, если что — то нельзя измерить самой малой мерой. А под конец нужно прийти к противоположному — и к лучшему, как говорится в пословице, — как и в приведенных случаях, когда в них разберутся: ведь ничему бы так не удивился человек, сведущий в геометрии, если бы диагональ оказалось соизмеримой.» Без диалогизации понятий числа и величины нельзя удивиться несоизмеримости диагонали; противоположное же (и лучшее — для определенных целей) появляется тогда, когда мы имеем дело с готовым, ставшим знанием, которое не является предметом, но служит уже только средством для чего — то иного, т. е. в ситуациях, не связанных ни с обучением, ни с теоретической деятельностью.
Подытожу кратко свои рассуждения. На примере введения понятия числа в первом классе я пыталась показать, что возможно при начальном обучении не обобщать и развивать присущие ребенку независимо от обучения «спонтанные» понятия (представления) и не формировать независимые от этих спонтанных представлений научные понятия, но, сталкивая друг с другом присущие ребенку различные способы понимания (а современному первокласснику присущи одновременно различные способы), развить каждый из них, довести до некоторой культуры, и тем самым сделать предмет понимания удивительным, требующим именно понимания (а не просто некоторого знания, умения и т. п.). Таким образом, с одной стороны, решалась бы задача соответствия обучения определенному «уровню развития» ребенка, его возрастным особенностям, с другой стороны, подготавливался бы переход к собственно учебной деятельности (в III–IV классах — к освоению античной культуры). Одновременно такой способ введения понятий отвечал бы сущности современной науки.