Во-первых, ясно, что уравнения должны быть линейными ввиду свойств однородности, которые мы приписываем пространству и времени.
Если положить x'=x-υt, то ясно, что точка, неподвижная в системе k, должна иметь систему значений координат x', y, z, независимую от времени.
*****>
Это каким образом пространственный интервал — длина отрезка, стала координатой? Ведь x' не что иное как разница длины отрезка от начала системы K до координаты x и пути проходимого вдоль этой оси системой k.
И в какой системе отсчета координаты x', y, z определяют положение точки, покоящейся в системе k?
Если в системе K, то координата по оси x не может не зависеть от времени, так как точка движется вдоль этой оси вместе с системой k!
Если в системе k, то откуда в этой системе x', y, z? А как же ξ, η, ζ? Конечно, при совпадении осей x и ξ, можно численно отождествить y, z и η, ζ, и принять, что x' это значение координаты ξ, но в таком случае x= ξ'! Что означает равенство интервалов Δx и Δξ! И в целом сразу получается система преобразований: x= ξ+υt, y= η, z= ζ! А в ввиду
<*****
свойств однородности, которые мы приписываем пространству и времени
*****>
логично и Δt= Δτ, и если в момент t = 0 принять, что и τ = 0, то t= τ!
Все, вот она — искомая система преобразований между системами K и k, для предложенного А. Эйнштейном случая:
!
Если же равномерное неускоренное движение системы k относительно системы K происходит в произвольном направлении, то преобразования между системами K и k примут вид:
где (x0, y0, z0) первоначальное положение в системе K начала системы k,
υx, υy и υz проекции ее скорости на оси системы K,
t0 значение времени в системе K, когда начало системыk находилось в положении (x0, y0, z0).
В принципе на этом можно было бы и остановиться, так как, без всяких сложных манипуляций, получены преобразования, опровергающие теорию А. Эйнштейна на его же положениях.
Но все-таки предлагаю продолжить. И вот что А. Эйнштейн пишет дальше:
<*****
Сначала мы определяем τ как функцию x', y, zи t. Для этого нам придется выразить в уравнениях, что τ есть не что иное, как сумма показаний часов, неподвижных в системе k, синхронизированных по правилу, приведенному в § 1. Пусть из начала системы kлуч испускается в момент времени τ0 вдоль оси x к x', а в момент времени τ1 отражается оттуда к началу координат, прибывая туда в момент τ2, тогда мы должны иметь (τ0+τ2)/2=τ1, или, подставив аргументы функции τ и применив принцип постоянства скорости света в стационарной системе