3.3
Клевые цифры
Поскольку все хотят, чтобы их цивилизацию… можно было сосчитать!
B История чисел в человеческой цивилизации – это история бесчисленных[5] потерянных возможностей и ненужных задержек. В то время как письменные числа впервые появились около 40 тысяч до н. э., опередив любой алфавит на десятки тысячелетий, это были просто черточки, одна для единицы.
Выглядели они так (рис. 6).
Рис. 6. Счетные метки
Они хороши для небольших чисел, но едва дело доходит до более «объемистых», то они превращаются в настоящую головную боль.
А ну-ка, быстро, какое это число (рис. 7)?
Рис. 7. Возможно… очень много счетных меток
Правильный ответ такой: «Не имеет значения, поскольку ни у кого нет времени сидеть и считать… послушайте, мы ведь собираемся заново создать цивилизацию тут, в прошлом!»
Именно это делает счетные метки отстойными, не клевыми цифрами.
На протяжении нашей истории возникали другие системы с теми же недостатками, но мы не будем тратить время на их описание и перепрыгнем сразу к финишной черте: ваша цивилизация собирается использовать, во-первых, индийские/арабские цифры, во-вторых, систему разрядов и, в-третьих, десятичный счет.
А теперь мы расскажем, что это вообще значит и почему это так круто.
А. Индийские/арабские цифры – это те самые цифры, с которыми вы так хорошо знакомы: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Вы можете придумать какие угодно знаки для этих цифр, если таково будет ваше желание, они совершенно произвольны. Кроме того, поскольку теперь индусы и арабы не имеют к изобретению никакого отношения, вы можете назвать их «[Вставьте ваше имя] цифры».
Б. Система разрядов: ситуация, в которой каждому разряду соответствует точно определенное место в числе. Например, 4023 означает: четыре тысячи ноль сотен два десятка и три единицы. Это выглядит совершенно естественным, но лишь потому, что вы привыкли использовать такую систему с детства. Все ее применяют, поскольку это очень эффективный и гибкий и в то же время простой способ изображать числа[6].
С. Десятичный счет: наша система основывается на числе 10, что значит – каждый следующий разряд в десять раз больше предыдущего и меньше последующего.
Когда вы двигаетесь справа налево, каждая колонка в десять раз больше.
Вот наше 4023 (табл. 3).
Таблица 3. Существует 4023 хорошие причины изучить эту схему. Нет, мы шутим, их не так много, но вам все же стоит быстренько глянуть на таблицу, чтобы вы могли знать, что такое число
На самом деле вы можете построить разрядную систему вокруг любого числа. База в виде десятки появлялась чаще всего на протяжении нашей истории, скорее всего, потому, что десять – примерно среднее число пальцев на руках у одного человека, но это не единственная база. Люди экспериментировали и с другими, вавилоняне, например, использовали 60 (о чем напоминает нам тот факт, что в каждом часе содержится 60 минут, а в круге – 360 градусов, см. раздел 4), а при проектировании компьютеров применяется база 2.
В такой системе каждая колонка всего в два раза отличается от предыдущей, а не в десять (табл. 4).
Таблица 4. Бинарные числа. У вас есть 1011 хороших причин изучить таблицу
Да, мы осознаем тот факт, что это заметно меньше, чем в случае с предыдущей таблицей. Ведь 1011 при базе 2 равняется 8 + 2 + 1, или 11.
Как вы уже наверняка догадались, та же самая последовательность разрядов может представлять различные числа при использовании различных баз. Если бы мы не сказали, что 1011 считается по базе 2, вы бы наверняка прочли его по базе 10, где оно представляет «тысячу одиннадцать». При базе в 5 это будет 131, при базе 7 – 351, при базе в 31 вы смотрите на число, представляющее 29 823.
Эксперименты в других временных линиях показали, что построение системы цифр вокруг странного числа вроде 31 – не очень хорошая идея, но знаете что: вы заперты в прошлом, и никто из нас не сможет остановить вас.
Ну а теперь, когда мы установили основания написания чисел, можно привести грустный факт: изобретение всего остального, со всеми элементами, которые мы принимаем как должное, потребовало у человечества примерно 40 тысячелетий. Бо́льшая часть этого времени ушла на то, чтобы придумать дроби, вещь настолько фундаментальную, что в школе ее довольно рано проходят дети.
Поэтому следующая таблица (табл. 5), в которой изложены элементы вашей численной системы, на самом деле является наиболее времясберегающей таблицей в истории.
6
Чтобы иметь представление о менее эффективной системе, посмотрите на римские цифры, которыми бо́льшая часть человечества, ругаясь и кряхтя, пользовалась целые тысячелетия и которыми меньшая часть человечества, так же кряхтя, продолжает пользоваться и в наше время. В этой системе нет позиционных разрядов, и вам просто приходится снова складывать числа, как в тех же счетных метках, с которых мы начали. Но здесь вместо единичных черточек (|) у нас есть целая куча отметок, каждая представляет разную величину, I – это «один», V – «пять», X – «десять», L – «пятьдесят» и так далее. То число, которое вы хотите изобразить, вы составляете, комбинируя эти базовые значки: 2 = II (1 + 1), 3 = III (1 + 1 + 1), а 4 = IV (или 5–1, ведь вам приходится вычитать, когда значок с меньшим значением стоит перед значком с бо́льшим). Так что число вроде «LXXXIX» будет равно 50 + 10 + 10 + 10 + (10–1), или 89. Длина числа в римской системе не соотносится с его величиной, римские цифры требуют складывания и вычитания в голове, чтобы разобраться, с чем именно вы имеете дело, и поэтому мы должны прекратить говорить о них прямо сейчас. Годятся они лишь на то, чтобы круто смотреться на циферблате часов и после вашего имени, чтобы вы могли отличаться от ваших предков-королей, не обладавших особым воображением в назывании отпрысков. В остальном – избегать.