Возьмемъ примѣръ сперва двузначный: 56×97 и поставимъ такой вопросъ: откуда могутъ получиться единицы произведенія? Очевидно, только отъ перемноженія простыхъ единицъ, потому что отъ умноженія десятковъ будутъ десятки, отъ сотенъ будутъ сотни и т. д. 6×7 = 42, слѣд. простыхъ единицъ въ отвѣтѣ будетъ двѣ, не больше и не меньше. Итакъ, одну цифру мы нашли, она будетъ обязательно 2. Рѣшаемъ теперь второй вопросъ: откуда получаются десятки произведенія? Во-первыхъ, отъ умноженія десятковъ на единицы, во-вторыхъ, отъ умноженія единицъ на десятки и, кромѣ того, нѣсколько десятковъ образовалось отъ перемноженія простыхъ единицъ. Больше ни откуда десятковъ получиться не можетъ, такъ какъ во всякомъ случаѣ сотни и тысячи дадутъ по крайней мѣрѣ сотни же и тысячи. Вычисляемъ десятки: 5×7 — 35, 9×6 = 54, да 4 десятка осталось отъ единицъ, всего составится ихъ 93; изъ этого 9 сотенъ пока замѣтимъ, а 3 десятка можемъ записать спокойно: это ужъ цифра окончательная. Высчитываемъ сотни. Въ нашемъ примѣрѣ онѣ могутъ получиться только отъ умноженія десятковъ на десятки и ихъ будетъ 45, да 9 сотенъ отъ десятковъ, всего 54 сотни. Пишемъ ихъ въ окончательномъ отвѣтѣ и получаемъ: 56×97 = 5432. «Крестикъ» мы здѣсь примѣняли, когда составляли десятки произведенія, потому что въ этомъ случаѣ мы умножали крестъ на крестъ 5 на 7 и 6 на 9. Все дѣйствіе можно изобразить такой фигурой:
5 6
X
9 7
————
5432
Чтобы читателю былъ яснѣе виденъ ходъ вычисленія, разберемъ еще трехзначныи примѣръ. Возьмемъ 467 X 893. Низшимъ разрядомъ въ произведеніи будутъ простыя единицы, а высшимъ—десятки ты-сячъ, потому что сотни, умноженныя на сотни, даютъ десятки ты-сячъ; всего, слѣдовательно, въ произведеніи будетъ 5 разрядовъ. Оііредѣляемъ ихъ постепенно. Прежде всего запишемъ данныя числа такъ, чтобы цифры стояли порѣже и между ними были свободные промежутки, э зачѣмъ,—это будетъ понятно далѣе.
Простыя единицы образуются отъ перемноженія простыхъ же единицъ; 7 × 3 = 21, единицу пишемъ и 2 въ умѣ. Десятки образуются отъ умноженія десятковъ на единицы и единицъ на десятки и дадутъ: 6 × 3 = 18, 9 × 7 = 63, да 2, всего 83, три пишемъ и 8 замѣчаемъ. Но мы пишемъ 3 десятка не подъ десятками, а въ промежуткѣ между единицами и десятками: цѣль здѣсь та, чтобы сохранить полную симметрію въ расположеніи цифръ и строгій порядокъ, который не допустилъ бы насъ сбиться; дѣйствительно, какъ у насъ образовалась цифра единицъ и гдѣ она подписана? Она образовалась отъ единицъ и подъ ними подписана:
7
3
—
1
.
Какъ образовалась цифра десятковъ и гдѣ ее лучше всего подписать? На это отвѣтимъ мы такимъ чертежомъ:
6 7
×
9 3
———
3
Цифра 3 стоитъ симметрично подъ тѣми цифрами, отъ которыхъ она получилась. Вотъ далѣе чертежи для сотенъ, тысячъ и десятковъ тысячъ:
Сотни высчитываются такъ. Онѣ получаются отъ умноженія сотенъ на единицы, единицъ на сотни и десятковъ на десятки, будетъ 4.3 = 12, 7.8 = 56, 6.9 = 54, да отъ умноженія десятковъ осталось 8 сотенъ, всего ихъ составится 130, нуль пишемъ подъ чертой, а 13 тысячъ пока держимъ въ умѣ. Отыскиваемъ теперь тысячи нашего произведенія: онѣ получаются тогда, когда сотни множатся на десятки и десятки на сотни, слѣд. 4×9 = 36, 6×8 = 48, да еще замѣченныхъ 13, и составится ихъ всего 97. Цифру 7 пишемъ подъ чертой. Легко, наконецъ, опредѣлить и десятки тысячъ: ихѣ будетъ 41.
Такимъ же образомъ можно умножить и всякія многозначныя числа, до пятизначныхъ, шестизначныхъ и выше. Симметрія руководитъ нами во всѣхъ этихъ примѣрахъ и не позволяетъ сбиться. Поэтому, если во множимомъ и во множителѣ цифръ не поровну, напр., четырехзначное число берется съ двузначнымъ, то лучше всего приписать пару лишнихъ нулей и получить опять симметричную фигуру: