Такими-то хитросплетенными умствованіями занимались пиѳагореіцы; они не были въ этомъ случаѣ одинокими, потому что извѣстно не мало и другихъ любителей таинственной, символической ариѳметики. Прежде всего назовемъ египтянъ, у которыхъ богъ Озирисъ представлялся числомъ 4, богиня Изида числомъ 3, а «Время» числомъ 5, и все это чертилось въ видѣ прямоугольнаго треугольника со сторонами 3, 4, 5, въ которомъ квадратъ гипотенузы, 5·5=25, равенъ суммѣ квадратовъ катетовъ: 3·3+4·4. Бредни халдеевъ относительно чиселъ доставили имъ славу волшебниковъ; каждый халдейскій богъ, отъ 1-го и до 60-го, имѣлъ свое особое число, ему посвященное; даже и духи не были обижены, потому что и имъ были посвящены числа, но только похуже—дробныя. Мистическое ученіе евреевъ, такъ наз., каббала (отсюда «каббалистическіе», т.-е. таинственные, знаки) возникло за 2 вѣка до Р. X. и развивалось вплоть до XIII столѣтія и далѣе. Первыя десять чиселъ считались у нихъ: «путями премудрости».
Христіанская средневѣковая Европа тоже не лишена была стремленій къ таинственному символическому толкованію чиселъ. Епископъ майнцкій Рабанъ Мавръ въ IX в. рѣшалъ вопросъ, почему Моисей и Илія постились ровно 40 дней?
«А потому, — отвѣчаетъ Рабанъ, — что 40 состоитъ изъ 4 десятковъ и этимъ знаменуетъ временную жизнь, ибо 4 выражаетъ время, а въ 10-ти можно распознать Бога и Его творенія».
Алькуинъ, другъ императора Карла Великаго, заинтересовался численной задачей: почему Св. Апостолъ Петръ поймалъ 153 рыбы? не больше и не меньше, а ровно 153? Алькуину казалось, что онъ нашелъ рѣшеніе: 153=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17, т.-е. число 153 равно суммѣ первыхъ 17-ти чиселъ. Но почему же именно 17-ти? На это Алькуинъ ничего не отвѣчаетъ.
Сколько труда и энергіи тратилось обыкновенно на эти изысканія и на эти изслѣдованія глубины числовыхъ отношеній! Правда, можно согласиться, что эти труды не пропали безъ всякой пользы и содѣйствовали теоріи ариѳметики и такъ называемой теоріи чиселъ, они заставили вникнуть въ разложеніе чиселъ на множителей и на слагаемыя и привели къ числовымъ рядамъ, которые теперь у насъ зовутся прогрессіями. Такъ древне происхожденіе прогрессій! У насъ онѣ отодвинуты на конецъ алгебры, а у древнихъ математиковъ имъ отводилось почетное мѣсто въ элементарной ариѳметикѣ.
Дѣленіе чиселъ на четныя и нечетныя извѣстно было еще въ древнемъ Египтѣ; оно же было вполнѣ извѣстно и Пиѳагору, потому что уже въ его времена была въ ходу игра «въ четъ и нечетъ». Кромѣ того, пиѳагорейцы раздѣлили числа на первоначальныя и составныя; первоначальными они называли, подобно намъ, такія числа, которыя не разлагаются на другихъ дѣлителей, а составными тѣ, которыя можно представить въ видѣ произведенія 2 множителей; и такъ какъ греки, любители и поклонники геометріи, смотрѣли и на ариѳметику со стороны геометрическихъ свойствъ, то они еще придумали называть первоначальныя числа линейными, а составныя плоскостными; дѣйствительно, всякое составное число, напр. 10, разлагается на 2 производителя, въ данномъ случаѣ на 2 и на 5, и потому можетъ обозначать собой площадь, хоть напрмѣръ, прямоугольника, у котораго стороны 2 и 5; первоначальныя же числа могутъ выражать собой только длину линіи, если, конечно, не вводить дробей.
Еще пиѳагорейцы выдѣлили треугольныя числа и квадратныя: треугольное число то, которое представляетъ собою половину произведенія 2 сосѣднихъ чиселъ, напр., 6 будетъ треугольнымъ числомъ, потому что его можно образовать умноженіемъ 3 на 4 и дѣленіемъ на 2; вотъ примѣры треугольныхъ чиселъ: 10=4·5/2, 15=5·6/2, 21=6·7/2, 28=7·8/2, 36=8·9/2 и т. д.
Ясно, почему они заслужили такое названіе: они могутъ выражать собой площадь треугольника. Что значитъ квадратное число, легко догадаться: то число, которое составлено изъ 2-хъ равныхъ множителей; квадратныя числа слѣдующія: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т. д.
Кромѣ того, у грековъ были «совершенныя числа». Подъ этимъ именемъ разумѣлись такія, которыя равны суммѣ всѣхъ своихъ дѣлителей, считая единицу; самый легкій примѣръ совершеннаго числа —28, потому что 28=1+2+4+7+14; другимъ примѣромъ можетъ служить число 496; если сложить всѣхъ его множителей, считая и единицу, то въ суммѣ получимъ опять 496; множители слѣдующіе: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248.
Отъ совершенныхъ чиселъ греки перешли къ такъ наз. содружественнымъ. Два числа называются содружественными тогда, когда каждое изъ нихъ равно суммѣ дѣлителей другого; лучшимъ примѣромъ такихъ чиселъ могутъ служить 220 и 284, у перваго изъ нихъ дѣлители 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 даютъ вмѣстѣ 284, а у второго дѣлители 1, 2, 4, 71, 142 даютъ въ суммѣ число 220. Въ теоріи содружественныхъ чиселъ не обошлось безъ курьеза, опять проявилась та же наклонность къ таинственному и волшебному. Нѣкій Мадштрити, умершій въ Мадридѣ въ 1007 году по Р. X., въ своемъ сочиненіи «О цѣляхъ существующаго» пытается увѣрить, что содружественныя числа могутъ сыграть роль талисмана или приворотнаго зелья; а способъ для этого очень простой: надо написать на 2 бумажкахъ, на одной число 220, на другой—284, сжечь ихъ и пепелъ выпить съ водой, большее число самому, а меньшее тому, кого желательно къ себѣ расположить. Другой авторитетный человѣкъ, нѣкто Ибн-халдунъ, подтверждаетъ, что дѣйствительно эти числа имѣютъ значеніе талисмановъ, и что многіе на дѣлѣ это испытали и увѣрились; и онъ самъ, Ибн-халдунъ, на своемъ опытѣ въ этомъ же увѣрился.