Множитель 97 пишется надъ множимымъ 456 такъ, что его высшій разрядъ, 9 десятковъ, стоитъ надъ простыми единицами числа 456. Вычисленіе начинается слѣва. 4×9 = 36, пишемъ 6 надъ четырьмя, а 3 рядомъ налѣво; 5×9=45, изъ нихъ 5 пишемъ рядомъ съ 6-ю, а 4 не подписываемъ надъ 6-ю, какъ это дѣлали въ способѣ треугольника, но прибавляемъ къ 6-ти, будетъ 10, прибавляемъ къ 30, будетъ 40, эти цифры помѣщаемъ надъ 36-ю. Ведемъ умноженiе далѣе: 6×9-= 54, изъ этого 4 пишемъ надъ 9-ю, потому что нижнее мѣсто занято, а 5 прибавляемъ къ 5-ти, получится 10, нуль пишемъ надъ пятью, единицу—надъ нулемъ, именно тѣмъ нулемъ, который принадлежитъ числу 40. Такимъ-то образомъ сложеніе идетъ рука объ руку съ умноженіемъ, и когда всѣ умноженія окончатся, то окончится и сложеніе, и отвѣтъ представится самыми высшими цифрами въ каждомъ вертикальномъ столбцѣ. Какъ видно, Альнасави допускаетъ особенность и въ множимомъ, именно онъ его еще разъ подвигаетъ и не только горизонтально, но такъ, что крайній разрядъ переставляется въ слѣдующую высшую строчку. Цѣль перемѣщенія та, чтобы единицы множимаго всегда приходились подъ тѣмъ разрядомъ множителя, на какой умножаемъ.
Альнасави заимствовалъ свой пріемъ у индусовъ; индусы же предпочитали устный счетъ письменному, не любили лишнихъ цифръ и. во всякомъ случаѣ, не стали бы вычислять такъ растянуто, какъ это дѣлаетъ Альнасави. У какого же индуса онъ его заимствовалъ? Или онъ самъ его такъ измѣнилъ? Объяснить это все можно такъ. Индусы вычисляли на пескѣ и сейчасъ же стирали тѣ цифры, которыя имъ не нужны, поэтому имъ было такъ легко передвигать множимое или множителя: они стирали прежнее и писали новое. Поэтому и мелкія сложенія и умноженія они писали только на одну минуту, и если имъ цифра не нужна, они ее сейчасъ за-мѣняли новой; такъ что, дѣйствительно, индусы не сбивались въ длинныхъ рядахъ цифръ и не запутывались, тѣмъ болѣе, что ихъ работѣ много помогалъ устный счетъ. Но арабы и Западная Европа переняли способы индусовъ, а примѣнять ихъ стали чаще всего на доскахъ и на бумагѣ, гдѣ цифры перетирать совершенно неудобно; отъ этого и получилась масса лишняго письма, сбивчивость и трудность въ вычисленіяхъ. Не скоро поняли европейскіе математики, что не достаточно перенести чужой пріемъ къ себѣ, но надо еще примѣнить его къ своимъ условіямъ, и тогда онъ будетъ пригоднымъ и удобнымъ.
19. Во всѣхъ разобранныхъ нами 18-ти способахъ, какъ они ни сложны и ни разнообразны, существенный ыорядокъ дѣйствія все время остается тотъ же, вездѣ дается 2 числа, множимое и множитель, и первое число, т.-е. множимое, помножается такъ или иначе на отдѣльные разряды множителя, сперва на его единиы, потомъ на десятки, сотни и т. д., или же, наооборотъ, раньше на сотни, а потомъ уже на десятки и единицы. Но нѣтъ ничего легче примѣнить другой порядокъ: не цѣлое множимое умножать на отдѣльные разряды множителя, а отдѣльные разряды множимаго на цѣлаго множителя. Такъ училъ индусскій авторъ Брамегупта (въ VII ст. по Р. X.).
Отвѣтъ у него помѣщается въ самомъ верху, данныя числа— внизу. Множитель переписывается столько разъ, сколько цифръ во множимомъ. Начинаемъ умножать 4 сотни на 97, получится 388 сотенъ, ихъ пишемъ надъ сотнями. Такъ же поступаемъ съ десятками и единiцами.
20. Самыми старыми первоначальными способами умноженія надо считать тѣ, когда умноженіе замѣняется сложеніемъ. Умноженіе, конечно, и есть въ существѣ дѣла сложеніе, но только сокращенное, благодаря таблицѣ и вслѣдствіе равенства слагаемыхъ. Чтобы, на-примѣръ; умножить 9 на 27, можно бы 9 выписать 27 разъ и потомъ послѣдовательно складывать: 9 + 9 = 18, 18 + 9 = 27, 27 + 9 = 36 и т. д. до 243-хъ. Но такое сосчитываніе было бы слишкомъ продолжительнымъ, и вотъ здѣсь является на помощь таблица умноженія, которая значительно сокращаетъ работу; изъ таблицы намъ извѣстно, что 9 × 2 = 18, а слѣдовательно 90 × 2 = 180, да 9 × 7 = 63, всего составится 180 + 63 = 243. Такимъ образомъ мы замѣнили набираніе 27 слагаемыхъ болѣе простыми дѣйствіями, именно 2 умноженіями и однимъ сложеніемъ. Не сразу выработала ариѳметика такой простой и легкій путь, чтобы замѣнять сложеніе равныхъ слагаемыхъ умноженіемъ. Поэтому на первыхъ ступеняхъ ея развитія, при наглядномъ счетѣ и при выкладкахъ на разныхъ счетныхъ приборахъ, преобладаетъ чистое сложеніе, а умноженіе является только урывками и проблесками. Едва къ концу среднихъ вѣковъ оно вполнѣ вступило въ свои права.