Казалось бы, что вполнѣ достаточно повѣрки числомъ 9 и числомъ 7 для того, чтобы можно было успокоиться и убѣдиться, что отвѣтъ вѣренъ. Но нѣтъ, Рудольфъ и Апіанъ (въ XVI ст.) объясняютъ, что повѣрять можно такимъ же путемъ, какъ и выше, еще съ помощью чиеелъ 8, 4, 6.
Фишеръ (въ 1559 г.) провѣряетъ свои вычисленія числами 5, 6, 7, 8, 9, 11.
Но такое большое количество искусственныхъ повѣрокъ приводило многихъ авторовъ прямо къ отрицанію ихъ необходимости и пользы. Петръ Рамусъ, извѣстный французскій ученый и математикъ (ум. 1572 г.), говоритъ, что всѣ эти ухищренія излишни и ненужны, и что если кому требуется повѣрить дѣйствіе, то пусть онъ передѣлаетъ его снова и больше ничего; такъ будетъ лучше и въ томъ отношеніи, что, передѣлывая снова, мы можемъ не только открыть присутствіе ошибки, но и исправить ее.
Лука де-Бурго смотритъ на дѣло хладнокровнѣе. Онъ не отрицаетъ совершенно провѣрки, но только совѣтуетъ дѣлать ее, по возможности, проще. Именно онъ указываетъ для этого 2 способа. Во-первыхъ, можно то же дѣйствіе произвести еще разъ и только измѣнить его порядокъ, напр., при сложеніи нѣсколькихъ чиселъ, если мы сперва складывали сверху внизъ, то потомъ надо пересложить снизу вверхъ. Во-вторыхъ, всякое дѣйствіе повѣряется своимъ обратнымъ: вычитаніе сложеніемъ, дѣленіе умноженіемъ и т. п.
Происхожденіе мѣръ.
Всѣ предыдущія объясненія, которыя изложены до настоящей главы, касались счета и вычисленій, т.-е. тѣхъ умственныхъ отправленій человѣка, которыя составляютъ наиболѣе характерную и общую черту его природы.
Дѣйствительно, потребность считать привадлежитъ всѣмъ людямъ и составляетъ необходимую часть ихъ мышленія. Поэтому естественно, что и проявленіе этой всеобщей потребности и присущей всѣмъ способности тоже носитъ въ себѣ много общаго и неизмѣннаго у всѣхъ народовъ и во всѣ времена. Въ счетѣ и вычисленіи нѣтъ мѣста произволу и очень мало мѣста для свободнаго выбора: все совершается по общему закону, предустановленному психической организацею человѣка. Не то мы видимъ въ измѣреніи и оеобенно въ выборѣ мѣръ. Вотъ ужъ именно «что городъ, то норовъ, что деревня, то обычай!» Каждое маленькое государство, каждый хоть немножко самостоятельный народъ, каждый городъ, каждый уголокъ стремится измѣрять своими мѣрами, да и тѣ еще успѣваетъ перемѣнить нѣсколько разъ съ теченіемъ времени. Прослѣдимъ вкратцѣ эту измѣнчивость мѣръ и постараемся извлечь изъ нея тѣ немногія руководящія основанія, которымъ подчиняется выборъ мѣръ, а для этого возьмемъ отъ каждаго народа то, что болѣе всего примѣчательно.
Древній міръ признавалъ египтянъ творцами системы мѣръ. Еще въ доисторическія времена египтяне принимали 365 дней въ году; имъ же принадлежитъ введеніе високоснаго года въ 366 дней черезъ каждые 3 простыхъ, при чемъ установленіе это приписывается царю Канопу и относится къ 238 г. до Р. X. Оть египтянъ этотъ порядокъ былъ заимствованъ Юліемъ Цезаремъ и введенъ имъ во всемъ римскомъ государствѣ, онъ же держится и у насъ теперь подъ именемъ юліанскаго лѣтосчисленія. Счетъ по недѣлямъ и по мѣсяцамъ точно также былъ извѣстенъ египтянамъ.
Вавилоняне замѣчательны тѣмъ, что они стремились объединить всю систему мѣръ и привести ее къ одной основной единицѣ. Эта глубокая мысль занимала потомъ многихъ математиковъ, цринадлежавшихъ къ различнымъ національностямъ, и нашла себѣ выраженіе только очень недавно, именно съ введеніемъ метрической систеиы мѣръ. Съ этой цѣлью вавилоняне пользовались особымъ священнымъ сосудомъ опредѣленныхъ размѣровъ, который они хранили въ надежномъ мѣстѣ. Длина ребра этого сосуда принималась за единицу длины. Когда же этотъ сосудъ наполнялся водой, то вѣсъ воды, вытекавшей изъ него въ опредѣленное время, принимался за единицу вѣса и назывался талантомъ; талантъ раздѣлялся на 60 минъ. Отъ вавилонянъ онъ перешелъ къ другимъ сосѣднимъ народамъ, напр., грекамъ, евреямъ, но при этомъ не всегда и не вездѣ онъ сохранялъ свою первоначальную величину. Обыкновенный греческій талантъ вѣсилъ слишкомъ 1½ пуда и раздѣлялся на 6000 драхмъ.