Вмѣсто пониманія рекомендовалось не заноситься, а выучивать наизусть все, что задаютъ, и потомъ стараться примѣнять это къ дѣлу, т. е. къ примѣрамъ, а вся сила пониманія сосредоточивалась не на томъ, чтобы уяснить выводъ правила, а на болѣе скромномъ—на томъ, какъ примѣнить общее правило къ примѣрамъ.
И вотъ тройное правило являлось выдающимся и заслуживающимъ особеннаго вниманія во многихъ отношеніяхъ. Во-первыхъ, кругъ его задачъ довольно обширенъ, во-вторыхъ, самое правило выражается довольно просто и ясно, и въ третьихъ, примѣнить это правило было сравнительно нетрудно. За всѣ эти достоинства ему и дали названіе «золотог», «ключа купцовъ» и т. п.
Тройное правило получило начало у индусовъ, тамъ его задачи рѣшались большею частію приведеніемъ къ единицѣ. Арабскій ученый Альхваризми (IX в. по Р. X.) относилъ его къ алгебрѣ. Леонардо Фибонначи, итальянецъ XIII в. по Р. X., посвящаетъ тройному правилу особый отдѣлъ подъ названіемь: ad majorem guisam, гдѣ даются задачи на вычисленіе стоимости товаровъ. Примѣръ: 100 rotuli (пизанскій вѣсъ) стоятъ 40 лиръ, что стоятъ 5 rotuli? Уcловіе записывалось такъ:
Правило предписывало рѣшать эту задачу слѣдующимъ порядкомъ: произведеніе 40 на 5 дѣлить на 100.
Особенное вниманіе, стали удѣлять тройному правилу съ ХVІ-го вѣка, т. е. съ тѣхъ поръ, какъ европейская торговля и промышленность сразу двинулись впередъ, благодаря важнымъ изобрѣтеніямъ и открытію новыхъ странъ. Но это не мѣшало разрабатывать эту главу совершенно неудовлетворительно, по крайней мѣрѣ, съ нашей точки зрѣнія. Прежде всего опредѣлялось правило чисто внѣшнимъ сбразомъ « задача состоитъ изъ трехъ чиселъ и даетъ собою четвертое число подобно тому, какъ если поставить три угла дома, то этимъ самымъ ужъ опредѣлится 4-й уголъ; второе число надо умножить на 3-е, и что получится, то раздѣлить на 1-е число». Такое опредѣленіе не могло не вести къ сбивчивости, и прежде всего являлся вопросъ: что считать первымъ числомъ, и всякія ли задачи съ тремя данными числами можно рѣшать тройнымъ правиломъ? Разъяснять это недоразумѣніе учебники не считали нужнымъ. Кромѣ того, рѣшались задачи не только съ цѣлыми числами, но и съ дробями, и въ иныхъ ариѳметикахъ онѣ располагались такъ непослѣдовательно, что задачи съ дробными числами на тройное правило помѣщались раньше главы о дробяхъ, потому что и все тройное правило шло раньше ариѳметики дробныхъ чиселъ.
Послѣ тройного правила съ цѣлыми числами и дробями излагалось особое правило «сократительное», въ которомъ разъяснялось, какъ можно сокращать нѣкоторыя данныя числа, а потомъ уже шло правило «возвратительное»; это былъ очень сбивчивый отдѣлъ, къ которому принадлежали вопросы съ обратной пропорціональностью, и авторамъ учебниковъ никакъ не удавалось разграничить, какія задачи относятся къ этой группѣ; ученикамъ приходилось полагаться на свою собственную догадку и довольствоваться смекалкой. Въ XV и ХXII вв. объясненіе давалось въ родѣ слѣдующаго: «Если мѣра зерна стоитъ 1½ марки, то на 1 марку даютъ два пуда хлѣба; сколько пудовъ хлѣба дадутъ на марку, если мѣра зерна стоитъ 1¾ марки; рѣшаемъ тройнымъ правиломъ, получится
но понятливый смекнетъ, что когда зерно вздорожаетъ, то хлѣба будутъ давать меньше, а не больше, поэтому вопросъ надо перевернуть, будетъ
.»
Въ подобномъ духѣ трактуетъ и Магницкiй (1703 г.)
«Правило возвратительное есть, егда потреба бываетъ въ заданіи третій перечень поставляти вмѣсто перваго: потребно же сіе въ гражданскихъ частыхъ случаяхъ, якоже рещи на прикладъ: нѣкій господинъ призвалъ плотника и велѣлъ дворъ строити, давъ ему двадцать человѣкъ работниковъ: и спросилъ, въ коливо дней построитъ тои его дворъ, онъ-же отвѣща, въ тридцать дней; а господину надобно въ 5 дней построити весь, и ради того спросилъ паки плотника, коликихъ человѣкъ достоитъ имѣти, дабы съ ними ты построилъ дворъ въ 5 дней, и той плотникъ недоумѣяся вопрошаетъ тя ариѳметиче: колико человѣкъ ему достоитъ имѣти, чтобъ построить ему той дворъ въ 5 дней, и аще ты начнеши творити по чину тройного правила просто; то во-истинну погрѣшиши; но подобаетъ ти не тако: 30—20—5, но сице превративъ: 5—20—30; 30 X 20=600; 600 : 5=120».
За тройнымъ правиломъ шло пятерное, за нимъ семерное. Легко догадаться, что это частные случаи сложнаго тройного правила, именно когда по 5 или 7 даннымъ, находящимся между собою въ пропорціональной зависимости, отыскивается 6-е или 8-е, имъ соотвѣтствующее число, иначе сказать: пятерное правило требуетъ 2-хъ пропорцій, а семерное трехъ. Пятерное правило объяснялось въ ХVІІІ вѣкѣ такъ: