11. Умноженіе треугольникомъ имѣетъ не одну форму, а нѣсколько, въ зависимости отъ того, начинать ли дѣйствіе съ высшихъ разрядовъ или низшихъ, или даже какихъ-нибудь промежуточныхъ, писать ли цифры какъ можно выше или какъ можно ниже. Если начинать умноженіе съ высшихъ разрядовъ, то образуется такая фигура:
12. По двѣнадцатому способу умноженіе треугольникомъ начинается съ какого-нибудь средняго разряда. Конечно, зто безразлично для произведенія, если только мы не собъемся въ порядкѣ цифръ и не пропустимъ чего-нибудь и не возьмемъ лишняго. Умножимъ сперва 5 дес. на 97, потомъ 4 сотни и, наконецъ, 6 единицъ.
Треугольникъ можно бы повернуть основаніемъ внизъ и вершиной вверхъ. Тогда фигура получится красивѣе. Особенно она хороша при длинныхъ многозначныхъ числахъ, когда очертаніе треугольника выдѣляется яснѣе.
13. Стоило только математикамъ попасть на одну геометрическую фигуру, на треугольникъ, и они принялись изобрѣтать всевозможныя формы: уголъ, ромбъ и т. д. Наперерывъ, одинъ передъ другимъ, школьные педагоги въ Германіи и Италіи ХVІ—XVII вѣка стали предлагать хитроумные, фигурные способы, въ которыхъ не имѣлось въ виду удобства, а требовалось только представить что-нибудь новое и замысловатое. Нѣкоторые педагоги получили даже своеобразную извѣстность въ этомъ направленіи. Такъ итальянецъ Тарталіа училъ въ своей школѣ 8 способамъ; столькимъ же училъ и Лука-де-Бурго; но вычислять по нимъ они своихъ учениковъ не заставляли, кромѣ одного способа или двухъ, и приводили остальные только по установившемуся обычаю или изъ хвастовства.
Расположеніе угломъ достигалось благодаря тому, что произведеніе простыхъ единицъ отодвигалось вправо, а остальные разряды писались симметрично вверху и внизу. Вотъ форма угла при умноженіи 456 на 97.
Первое произведеніе 36 составилось изъ множителей 4 и 9, второе — изъ 5 и 9, третье — изъ 6 и 9. Такимъ образомъ, мы помножили на десятки и начали дѣйствіе въ этомъ случаѣ съ сотенъ множимаго; далѣе умножаемъ на единицы, но ведемъ уже въ обратномъ порядкѣ, именно, начинаемъ съ единицъ множимаго и постепенно добираемся до его сотенъ.
14. Четырнадцатый способъ—ромба. Онъ еще замысловатѣе, чѣмъ предыдущіе. Нужна особенная внимательность, да и знаніе секрета, какъ составлять ромбъ. Если помножить 456 на 397, то ромбъ можетъ получиться слѣдующимъ путемъ. Вверху пишется произведеніе 4 сотенъ на 7 единицъ, подъ нимъ произведеиіе 5 десятковъ на 3 сотни и на 7 единицъ; въ длинной строкѣ помѣщается 4 с. × 3 с., 5 дес. × 9 дес. и 6 ед. × 7 ед.; далѣе располагаются и остальныя произведенія. Все это очень сбивчиво и неудобно, даетъ массу ошибокъ въ вычисленіи, которыя найти потомъ такъ нелегко, что лучше все бросить и сдѣлать снова. Съ непривычки дѣло долго не клеится, отвѣта не выходитъ, но, зато, въ концѣ ученикъ имѣетъ право похвастать: у него получился ромбъ.
15. До сихъ поръ мы подписывали отдѣльныя произведенія внизу подъ множимымъ и множителемъ, и на это, конечно, у насъ была причина, потому что всѣ люди начинаютъ писать съ верхней стороны листа и постепенно спускаются книзу, гдѣ мѣсто свободное, неисписанное. Но отвѣтъ получится одинаково вѣрный и въ томъ случаѣ, если, не жалѣя бумаги, мы начнемъ дѣйствіе пониже и оставимъ мѣсто для отдѣльныхъ произведеній выше производителей. Получится у насъ такъ:
Способъ этотъ указалъ Глареанъ въ ХIІ в. Вычисленіе начинается справа, съ низшихъ разрядовъ; отвѣтъ въ самомъ низу.
16. Шестнадцатый способъ очень сходенъ съ предыдущимъ и является его предшественникомъ по времени, такъ какъ образовался въ XV вѣкѣ. Его даетъ ученый арабъ Алькальцади изъ Андалузіи Особенность въ немъ та, что множимое переписывается нѣсколко разъ и притомъ столько разъ, сколько цифръ во множителѣ. И еще есть особенность: множитель не стоитъ подъ множимымъ, а располагается выше его; кромѣ того, отдѣльныя произведенія разсѣяны по разнымъ строкамъ.
Множимое, повидимому, передвигается за тѣмъ, чтобы не сбиться, какой разрядъ множить на какой. Впрочемъ, выгоды отъ этого передвиженія особенной не представляется.