Покончимъ теперь на египтянахъ и не будемъ уходить далѣе въ глубь вѣковъ, тѣмъ болѣе, что у насъ нѣтъ фактическаго матеріала для этого. Подведемъ итоги всему. что сказали объ умноженіи. Оно начинается съ сложенія равныхъ слагаемыхъ и въ этомъ случаѣ не пользуется никакими особенными правилами, сокращеніями и удобствами. Затѣмъ, благодаря практикѣ, начинаетъ выдѣляться удвоеніе и оно образуетъ фундаментъ новаго дѣйствія—умноженія: по образцу удвоенія легко могли возникнуть другіе подобные разсчеты и удвоеніе натолкнуло на то, чтобы находить тройное число, четверное, десятерное и т. п. Всѣ эти употребительные случаи, повторяясь часто, привели къ таблицѣ умноженія и выдѣлили окончательно дѣйствіе умноженія изъ массы случаевъ сложенія. Тогда же начинается письменное производство этого дѣйствія, сначала въ грубой и несовершенной формѣ, при помощи абака и другихъ похожихъ на него пособій, съ многочисленными стираніями и измѣненіями цифръ; сложеніе отдѣльныхъ произведеній сначала шло попутно, вмѣстѣ съ умноженіемъ разрядовъ, но потомъ его начали относить на самый конецъ и производить тогда, когда уже всѣ произведенія найдены. Въ старинныхъ способахъ умноженія устный счетъ почти не допускался, и всѣ цифры, какія надо, писались безъ пропуска, и въ умѣ ничего не удерживалось: такъ, по крайней мѣрѣ, было въ Западной Европѣ въ средніе вѣка. Ближе къ нашему времени стали примѣнять и устный счетъ, начали помогать письму тѣмъ, что нѣкоторыя цифры удерживали въ умѣ, и такимъ то образомъ развился и принялъ окончательную отдѣлку нашъ современный нормальный способъ умноженія.
23. Индусы и Адамъ Ризе, и итальянцы XVI в. часто разлагали множителя на производителей. У итальянцевъ это называлось «per repiego». Чтобы, напр., умножить 15, можно данное число умножить на 5 и полученное вновь умножить на 3. Чтобы умножить на 121, можно умножить на 11 и опять на 11. Еще лучше у Адама Ризе: если ему надо какое-нибудь число взять слагаемымъ 46 разъ, то онъ умножаетъ данное число на 9, полученный результатъ—на 5 и ко всему этому прикладываетъ еще одно, 46 слагаемое. Хорошо бы и намъ пользоваться почаще такими сокращеніями и пріучать къ нимъ своихъ дѣтей въ училищахъ. Есть, правда, во многихъ школахъ, особенно въ начальныхъ, спеціальныя занятія по устному счету, но, во-первыхъ, очень жаль, что они въ средней школѣ глохнутъ и не продолжаются, и, во-вторыхъ, они ведутся, обыкновенно, по шаблону и не столько развиваютъ личную сообразительность дѣтей, сколько пріучаютъ ихъ къ готовымъ формуламъ.
24. Другимъ хорошимъ способомъ, который тоже можетъ развивать сообразительность и помогать вычисленію, является слѣдующій. Множитель замѣняется новымъ числомъ, которое болыпе его въ нѣсколько разъ или на нѣсколько единицъ, и притомъ гораздо удобнѣе для дѣйствія, чѣмъ самъ данный множитель. Напримѣръ, если намъ задано умножить какое-нибудь число на 25, то мы вмѣсто этого умножимъ на 100—такъ гораздо легче—и полученное отъ этого умноженія число раздѣлимъ на 4. Точно также, чтобы умножить на 98, мы можемъ умножить на 100 и изъ этого произведенія вычесть двойное множимое, потому что мы его взяли лишнихъ 2 раза. Оба эти пріема хороши для устныхъ вычисленій, они придуманы давно, еще индусами, но все еще не имѣютъ такого большого примѣненія на практикѣ, какого заслуживаютъ по своей легкости и удобству.
25. Есть еще методъ умноженія многозначныхъ чиселъ, очень интересный и оригинальный. Онъ построенъ на совершенно иной руководящей мысли, чѣмъ нашъ настоящій методъ. Мы теперь интересуемся множимымъ и множителемъ, старательно подписывая ихъ другъ подъ другомъ или рядомъ, разлагаемъ ихъ на разряды и разсуждаемъ, съ которой стороны лучше начать; такъ что порядокъ вычисленія у насъ опредѣляется множимымъ и множителемъ, и наши заботы мало касаются произведенія, которое выходитъ какъ-то само собой, изъ сложенія частныхъ результатовъ. Наоборотъ, способъ «крестикомъ», о которомъ мы будемъ сейчасъ говорить, обращаетъ исключительно свое вниманіе на результатъ умноженія и изъ его разбора, а не изъ разбора данныхъ чиселъ, выводитъ порядокъ дѣйствія. Въ способѣ «крестика» надо сперва вычислить единицы произведенія, потомъ его десятки и притомъ сразу всѣ, какіе только могутъ оказаться, чтобы затѣмъ къ десяткамъ болѣе не возвращаться; потомъ надо вычислить сотни произведенія, опять-таки всѣ, какія только могутъ въ немъ быть; и такъ мы идемъ послѣдовательно отъ одного разряда къ другому. Еще греки любили пользоваться этимъ умноженіемъ и назвали его «хіазмомъ», потому что греческая буква хи «Х» какъ разъ своей фигурой напоминаетъ крестикъ.