Эта римская система дробей держалась въ школахъ Западной Европы вплоть до тѣхъ поръ, когда принесенная чрезъ Испанію арабская — вѣрнѣе сказать, индуссая—ариѳметика стала вступать въ свои права и получила силу и перевѣсъ. Это относится къ XV—XVI вѣк. по Р. X. Въ эти вѣка ученіе о дробяхъ уже получаетъ настоящій обликъ, знакомый намъ теперь, и формируется приблизительно въ тѣ же самые отдѣлы, которые встрѣчаются въ нашихъ настоящихъ учебникахъ. Но все это было еще очень мудрено, туманно и трудно для начинающихъ учиться. О происхожденіи дробей тогда не говорили или же говорили очень мало и съ пропусками. Вмѣсто того прямо начинали съ выговариванія дробей и съ ихъ письм. обозначенія. Вотъ цитата изъ Грамматеуса, нѣмецкаго автора XVI в.:
«слѣдуетъ замѣтить, что всякая дробь имѣетъ 2 цифры, вверху и внизу линіи. Верхняя цифра называется числителемъ, нижняя—знаменателемъ. Выговариваютъ дроби такъ: сперва называютъ верхнюю цифру, затѣмъ нижнюю, съ прибавленіемъ слова «части». Напр. 2/5 — двѣ пятыхъ части».
Въ русскихъ матем. рукописяхъ XVII в. мы видимъ то же самое, что въ западно-европейскихъ XVI и даже XV столѣтія, потому что, чтобы знанію дойти до Россіи, требовалось столѣтіе или болѣе. «Статія численая о всякихъ доляхъ указъ» начинается прямо съ письм. обозначенія дробей и съ указанія числителя и знаменателя. При выговариваніи дробей интересны такія особенности: четвертая доля называлась четью, доли же со знаменателями отъ 5 до 11 выражались словами съ окончаніемъ «ина», такъ что 1/7, = седмина, 1/5 пятина, 1/10 = десятина; доли со знаменателями, большими 10, выговаривались съ помощью слова «жеребей», напр., 5/13—пять тринадцатыхъ жеребевъ. Нумерація дробей была прямо заимствована изъ западныхъ источниковъ, въ чемъ авторъ рукописи сейчасъ же сознается:
«буди ти вѣдомо, како ся пишутъ доли въ цифирномъ счетѣ, по нѣмецкимъ землямъ, въ латинѣ и во французской земли.»
Числитель назывался верхнимъ числомъ, а знаменатель исподнимъ.
У Магницкаго (славянская ариѳметика 1703 г.) можно найти яркій примѣръ того, какъ смутно вырисовывалась глава о дробяхъ въ представленіи самихъ авторовъ учебниковъ. Первый разъ упоминаетъ о дробяхъ Магницкій совершенно неожиданно, когда у него идетъ дѣленіе съ остаткомъ. На стр. 17 рѣшается примѣръ 130 : 3, и въ концѣ рѣшенія говорится такъ:
«И умствуй изъ 10 3-хъ: и придеть 3, еже напиши за чертою. А осталось изъ 10, 1, иже есть общій всѣмъ тремъ и пишется послѣди сице: ⅓.»
Больше никакихъ разъясненій нѣтъ совершенно. Слѣдующій примѣръ дѣленія съ остаткомъ приведенъ на стр. 21, и тутъ уже прямо подписанъ отвѣтъ 77446399 : 2864=27041 968/2864. Затѣмъ встрѣчается еще немало примѣровъ дѣленія съ остаткомъ, и во всѣхъ въ нихъ остатокъ подписывается именно такимъ образомъ, т.-е. въ видѣ числителя дроби, у которой дѣлитель служитъ знаменателемъ. Трудно сказать, что хотѣлъ изобразить этимъ Магницкій: хотѣлъ ли онъ представить отвѣтъ въ видѣ цѣлаго числа съ дробью, или же это вовсе, по его мнѣнію, не дробь, а только своебразное обозначеніе дѣленія съ остаткомъ. Если это дробь, то лучше было бы отложить ее до полнаго разсмотрѣнія дробей, или, въ крайнемъ случаѣ, подробно ее объяснить; если же это не дробь, и если черта не отдѣляетъ числителя отъ знаменателя, то какая же сбивчивость и неясность возникнетъ для ученика, когда онъ начнетъ изучать дроби и увидитъ, что онѣ пишутся почему-то точно такъ же, какъ и остатокъ съ дѣлителемъ при дѣленіи съ остаткомъ. Почему все это такъ? Едва ли умъ ученика будетъ въ состояніи переварить этотъ вопросъ, и, вѣроятно, придетсяему бѣдному просто запомнить и затвердить, не мудрствуя сверхъ силъ.
На стр. 42 начинается у Магницкаго вторая часть ариѳметики, въ которой говорится «о числахъ ломаныхъ или съ долями».
«Что есть число ломаное?» — «Число ломаное ничто же ино есть, токмо часть вещи, числомъ объявленная, сирѣчь полтина есть, половина рубля, а пишется сице ½ рубля, или четь ¼, или пятая часть 1/5 или двѣ пятыя части 2/5 и всякія вещи яковыя либо часть, объявлена числомъ, то есть ломаное число».
Затѣмъ идетъ «нумераціо», или «счисленіе въ доляхъ», т.-е. дается рядъ дробныхъ примѣровъ и указывается, какъ ихъ выговаривать.
Полезно еще здѣсь объяснить, что значатъ старинныя русскія выраженія «полтретья», «полпята» и т. п, Полпята вовсе не значитъ половина пяти, но это будетъ 4½ потому что, по нашему говоря, это половина пятаго. т.-е. 4 цѣлыхъ и отъ пятаго половина. Точно такъ же полтретья значитъ половина третьяго, т.-е. 2½. У насъ осталось и сейчасъ выраженіе полтора; оно произошло изъ полвтора, т.е. половина второго, слѣд., одинъ съ половиной, 1½. Теперь понятна задача изъ Магницкаго на стр РВI[8]: купилъ полторажды полтора аршина, далъ полтретьяжды полтретьи гривны, колико дати за полдевятажды полдевята аршина придетъ 20 рублевъ 2 алтына и 37/8 полуденьги.