Мы разсмотрѣли счетъ дюжинами. Теперь займемся счетомъ группами по 60; такъ считали халдеи. Халдеи были волхвами, звѣздочетами и астрономами древности; имъ мы обязаны тѣмъ, что въ часѣ 60 минутъ и въ минутѣ 60 секундъ, также и въ угловомъ градусѣ 60 минутъ; у нихъ, между прочимъ, и день дѣлился на 60 часовъ. Число выше 60 халдеи разлагали на 60 и на остатокъ; напр., чтобы выразить 87, они говорили 60 и 27. Число 60 имѣло у халдеевъ свое особое названіе «soss», также и 3600, равное 60×60, спеціально называлось словомъ «sar». Работы халдеевъ въ астрономіи были выдающимися въ древнемъ мірѣ. Неудивительно поэтому, что ихъ вліяніе чувствуется и въ позднѣйшей наукѣ; отсюда про-истекаетъ то предпочтеніе, которое дается числу 60 въ астрономіи. Халдеи считали въ году 360 дней, т.-е. 60×6, и окружность дѣлили на 360 равныхъ частей или градусовъ; слѣдовательно, градусомъ экватора они считали путь, который пробѣгаетъ солнце въ однѣ сутки.
Вотъ мы поименовали cамыя употребительныя системы счета; изъ нихъ самая распространенная и развитая — десятичная: счетъ десятками можно прослѣдить у всѣхъ народовъ, не исключая даже и тѣхъ, которые предпочитали пользоваться пятками и дюжинами или же группами по 20 и по 60.
Изъ другихъ системъ, не приведенныхъ нами, мы можемъ указать лишь слабые намеки; такъ, напр., новозеландцы считаютъ группами въ 11, и у нихъ есть особыя коренныя слова для 11, 121 (=11×11), 1331 (=11×11×11); на ихъ языкѣ 12 замѣняется одиннадиатью однимъ, 13 — одиннадцатью двумя, 22 — дважды одиннадцать, 33 трижды 11 и т. д.
Вспомнимъ, кстати, что наши предки тоже считали иногда при помощи особыхъ своеобразныхъ единицъ — сороковъ: сорокъ сороковъ церквей, пять сороковъ соболей, слѣдовательно, у нихъ единицей счета служила группа въ сорокъ.
Итакъ, у всѣхъ народовъ идетъ счетъ десятками, сотнями, тысячами и т. д. Какъ же изъ этихъ группъ или изъ этихъ сложныхъ единицъ образуются многозначныя числа? Въ нашемъ русскомъ языкѣ для этого обыкновенно существуетъ одинъ путь: сложеніе и повтореніе. Что значитъ, напр., тринадцать? три-на-десять, т.-е. 10+3, здѣсь мы видимъ сложеніе; что значитъ тридцать? тридцать — трижды десять: здѣсь встрѣчаемъ мы повтореніе, иначе сказать умноженіе 10 на 3; въ выраженіи «триста двадцать» содержится два повторенія «три-ста», «два-десять» — и одно сложеніе — «триста двадцать». Но не такъ просто рѣшается этотъ вопросъ въ другихъ языкахъ. Въ нихъ для образованія сложныхъ чиселъ берутся и другія два дѣйствія, — вычитаніе и дѣленіе; напр., по-латыни восемнадцать будетъ duodeviginti, это значитъ двадцать безъ двухъ, девятнадцать — undeviginti, это значатъ двадцать безъ одного. По-санскритски 95 выражается черезъ pantchonangsatam, что значитъ сто безъ пяти. Что касается дѣленія, то имъ иногда образуются числа и у насъ, напр., вмѣсто «пятьдесятъ» говорятъ часто полсотни. Въ датскомъ языкѣ 60 выражается черезъ трижды двадцать (tresindstyve) — объ этомъ мы говорили выше, а 50 черезъ 2½ раза по 20—halvtresindsryve, здѣсь уже дѣленіе. Но вообще говоря, чѣмъ система счета развитѣе, тѣмъ болѣе приближаетея она къ десятичиой и тѣмъ яснѣе проявляется образованіе чиселъ при помощи сложенія и умноженія. У насъ, напр., въ русскомъ языкѣ числа отъ 11 до 20 словесно выражены не очень ясно, напр., «пятнадцать» вмѣсто «десять и пять», но, начиная съ 21, составъ чиселъ уже гораздо яснѣе, и мы встрѣчаемъ такія выраженія: «двадцать пять», «тридцать шесть» и т. п., въ которыхъ десятки ясно разграничены съ единицами; подобно этому полные десятки въ предѣлѣ ста выражены не совсѣмъ ясно. «тридцать» вмѣсто «три десятка», а сотни выражены уже яснѣе: «триста» вмѣсто «три сотни», а тысячи совершенно ясно: «три тысячи». Нашимъ дѣтямъ, которыя начинаютъ учиться ариѳметикѣ, легче въ этомъ случаѣ, чѣмъ, напр., нѣмецкимъ; тамъ для чиселъ 11 и 12 употребляются такія слова, изъ которыхъ не видно разложенія ихъ на десятокъ и единицы; кромѣ того, въ двузначныхъ числахъ въ нѣмецкомъ языкѣ выговариваются сперва единицы, а потомъ уже десятки, т.-е. какъ разъ обратно тому, какъ числа обозначаются письменно.
Предѣлъ чиселъ
Каковъ предѣлъ чиселъ, иначе сказать: до какого самого большого числа доходитъ тотъ или другой народъ при счетѣ и вычисленіи?
Живетъ въ настоящее время два дикихъ племени, Жури и Каирири, которыя считаютъ только по одной рукѣ и такимъ образомъ доходятъ только до пяти. Есть еще хуже. Низшія племена Бразиліи считаютъ обыкновенно по суставамъ пальцевъ и добираются этимъ путемъ только до трехъ. Все, что выше 2-хъ, они выражаютъ общимъ словомъ «много». Цивилизованные народы древнѣйшихъ временъ, какъ то: халдеи, евреи и китайцы, не заходили въ счетѣ слишкомъ далеко. Въ халдейскихъ надписяхъ и памятникахъ нигдѣ не встрѣчается упомипанія о милліонѣ. Въ Библіи есть, правда, выражепія «тысяча тысячъ» и «тысяча разъ по десяти тысячъ», однако подъ ними никакъ нельзя разумѣть опредѣленныхъ чиселъ, скорѣй же это картинное обозначеніе какихъ-то громадныхъ, неизмѣримыхъ количествъ. Не даромъ наши предки славяне принимали десять тысячъ за «тьму», какъ за что-то туманное и неясное, до чего нельзя и досчитаться. Еще сильнѣе употреблявшееся у нихъ выраженіе «невѣдіе», въ старинныхъ рукописныхъ славянскихъ ариѳметикахъ оно обозначало сотню тысячъ. Древнѣйшій культурный народъ Азіи, китайцы, слабые, впрочемъ, математики, считали тысячу и десять тысячъ вѣнцомъ всѣхъ чиселѣ: друзьямъ они желаютъ жить тысячу лѣтъ, а императору десятокъ тысячъ. Изъ всего этого видно, что большинство народовъ древности, даже и очень образованныхъ, довольствовались въ ариѳметикѣ первыми 4 разрядами и дальше тысячъ при счетѣ не шли.
Но кто особенно любилъ большія числа, такъ это индусы, горячіе поклонники ариѳиетики и ея творцы. Умѣнье обращаться съ громаднѣйшими числами считалось у нихъ признакомъ чрезвычайной смышлености и ставилось въ высокую заслугу. Даровитый математикъ такъ же былъ славенъ въ Индіи и достигалъ такой же популярности, какая у насъ выпадаетъ на долю только побѣдителя или поэта. Интересна легенда о нѣкоемъ индусѣ Bodisattva какъ онъ сталъ свататься за одну дѣвушку, и какъ отецъ невѣсты соглашался отдать ее только въ томъ случаѣ, если юноша докажетъ свое особое искусство въ письмѣ, въ единоборствѣ, въ бѣгѣ и въ ариѳметикѣ. По требованію отца, Bodisattva даетъ названія громаднымъ числамъ, кончая единицей 54-го разряца, т.-е. онъ оказывается въ состояніи прочесть число, выраженное длинной строкой въ 54 цифры, и что всего поразительнѣе, такъ это то, что онъ выговариваетъ числа не по одному способу, а по нѣсколькимъ, по 6 или 7. Въ заключеніе ему даютъ задачу: пусть бы онъ указалъ самую наименьшую долю длины, какую только можетъ онъ придумать. Онъ назвалъ и указалъ 1/108 470 495 616 000 индусской мѣры длины. Онъ началъ такъ: эта доля, которую я указываю, составляетъ седьмую часть тончайшей пылинки; 7 тончайшихъ пылинокъ составляютъ одну небольшую пылинку; изъ 7 небольшихъ выходитъ такая, которую кружитъ вѣтеръ; ихъ 7 даютъ одну, пристающую къ ногѣ зайца; 7 подобныхъ послѣдней даютъ одну, пристающую къ ногѣ барана; 7 пристающихъ къ ногѣ барана образуютъ одну, пристающую къ ногѣ буйвола; 7 пылинокъ буйвола составляютъ маковое зерпышко; 7 маковыхъ зернышекъ даютъ горчичное зерно, 7 горчичныхъ—ячменное, 7 ячменныхъ даютъ длину сустава пальца, изъ 12 суставовъ получаемъ пядь, изъ двухъ пядей — локоть, 4 локтя составляютъ лукъ и, наконецъ, 4000 луковъ даютъ индусскую мѣру длины, такъ наз. «yôana». Таковъ переходъ отъ этой мѣры къ самой малой долѣ и такова дробь, выраженная, по нашему, въ трилліонныхъ частяхъ.