В простейших случаях, изучаемых в курсе средней школы, функции могут быть выражены в виде формул, позволяющих по заданному значению аргумента вычислить соответствующее ему значение функции (например, в наших обозначениях: М = К2, М = (К+1)3, М = lg К). Такие формулы получаются обычно из математики или из физических теорий, описывающих достаточно простые явления природы. В экологии и родственных ей областях (например, в экономике и социологии) ситуации более сложны, и описание их с помощью формул удается редко. Как правило, в таких вопросах приходится довольствоваться "эмпирическими" зависимостями вроде кривой 3б. Нам надо научиться исследовать такие эмпирические зависимости.
На рис.4 изображен ряд точек Р1, Р2, ... , полученных путем многолетних "стандартных наблюдений" и "укладывающихся" на эмпирическую кривую, которую мы проводим через них и считаем фазовым портретом изучаемого явления. Для точки Р1 имеем К1 = 3000, М1 = 5300.
Рис.4
Ясно, что "облако" рис.2 невозможно уложить на одну кривую, так что в этом случае излагаемые далее методы неприменимы. "Облако" рис.3а плохо изображается кривой 3б; дальше предполагается, что наблюдения дают значительно более узкое "облако", практически совпадающее с такой кривой, что и происходит в ряде случаев.
На рис.5 изображено несколько графиков, "общий вид" которых позволяет делать заключения о ходе соответствующего процесса. Поясним, что означает здесь выражение "общий вид кривой". Кривая 1 поднимается снизу вверх, так что большему значению К соответствует на ней большее значение М; такая функция М от К (в записи: М = М(К)) называется возрастающей. Кривая 2 опускается, так что при увеличении К ордината точки этой кривой М убывает; такая функция называется убывающей. Кривая 3 изображает функцию, которая сначала убывает, а затем, пройдя через наименьшее значение (минимум), возрастает. (Постройте график функции, имеющей наибольшее значение – максимум).
Рис.5
Кривая 1 выпукла; это значит, что если соединить отрезком прямой (хордой) две любых ее точки, то отрезанная дуга лежит выше хорды. Выпуклая кривая напоминает по форме сосуд, обращенный дном вверх. Кривая 3 вогнута; это значит, что любая ее хорда отрезает дугу, лежащую ниже этой хорды. Вогнутая кривая похожа на сосуд, обращенный дном вниз. Кривая 2 сначала вогнута, а затем становится выпуклой; участки вогнутости и выпуклости разделяются на этой кривой точкой перегиба (найдите ее на кривой).
Прием отражения в биссектрисе
Как мы увидим, фазовый портрет – кривая, полученная в течение многолетних наблюдений – позволяет предсказывать изменение численности популяции на много лет вперед. Для этого очень полезен излагаемый ниже геометрический прием, используемый также для прогнозирования многих других явлений.
Для многих популяций фазовый портрет представляет собой выпуклую кривую, исходящую из начала координат О (точки пересечения координатных осей) и пересекающую биссектрису координатного угла в единственной точке 1 (рис.6).
Рис.6
Мы рассмотрим этот часто встречающийся случай. Начало координат О изображает "самое простое" стандартное наблюдение: К = 0 означает, что в "текущем" году насекомых вовсе не было, а М = 0 – что в"следующем" году их тоже не было – что вполне естественно. Конечно, повторные наблюдения дадут тот же результат, что и предсказывается фазовым портретом: если в некотором году численность популяции равна нулю, то она будет равна нулю и в следующем году. Это значит, что популяция вымерла. Точка фазовой кривой, где популяция постоянна, т.е. где М = К, называется стационарной, а соответствующее состояние популяции называется стационарным состоянием; отсюда ясно, почему биссектриса – геометрическое место точек, где М = К – играет важную роль в дальнейших исследованиях. Кроме начала координат, на рис.6 есть еще одна стационарная точка – это точка пересечения 1 фазовой кривой с биссектрисой. Если координаты этой точки ( не обозначенные на рис.6 ) равны Кc , Мc ( с означает "стационарность"), то Мc = Кc, и если в каком-то году популяция насчитывает в точности Кc особей, то и в следующем году их будет столько же, и через любое время – то же число. Но, конечно, такое точное равенство бывает очень редко, а на практике К может быть близко Кc Что произойдет в этом случае, мы увидим в дальнейшем, а пока рассмотрим популяцию, численность которой в первый год наблюдения K1 положительна, но меньше Кc. Чтобы предсказать численность той же популяции в следующем году, надо воспользоваться фазовой кривой: взять на ней точку Р с абсциссой К1 (рис.6), и тогда ордината M1 этой точки даст нам прогноз численности в следующем году.