89. Два слова, дающие решение нашей головоломки, – это BLUEBELL (колокольчик) и PEARTREE (грушевое дерево). Расположите буквы следующим образом: ВЗ – 1, L6 – 8, U5 – 3, Е4 – 6, В7 – 5, Е2 – 4, L9 – 7, L9 – 2. Это означает, что вы берете В, прыгаете с 3 на 1 и выписываете букву В на месте 1 и т. д. Второе слово можно выписать в том же порядке. Решение зависит от выбора слова, у которого вторая буква совпадает с восьмой, а четвертая – с шестой, поскольку эти буквы можно менять местами, не нарушая соответствующее слово. Слово MARITIMA (морская гвоздика) тоже подошло бы, если бы оно было словом английского языка.
90. Вот как следует расположить семь человек.
Разумеется, за круглым столом А будет соседом человека, указанного в конце строки.
Первоначально я сформулировал эту задачу для 6 человек и 10 дней. Разумеется, легко видеть, что максимальное число расположений для п человек равна (n – 1) (n – 2)/2. Эрнст Бергольт первым обнаружил сравнительно простой метод решения для всех случаев, где п равно простому числу +1. Затем я указал способ построения решения для 10 человек, опираясь на который, Е. Д. Бьюли нашел общий метод для любых четных чисел. Нечетные числа, однако, оказались крайне трудными, и единственными нечетными числами, с которыми удалось справиться, были 7 (приведен выше), 5, 9, 17 и 33, причем четыре последних равны некой степени 2 плюс 1. Наконец, хотя и не без больших трудностей, я нашел некий тонкий метод решения для всех случаев и выписал схемы для всех чисел до 25 включительно. Для случая 11 решение получил также У. Наш, Быть может, читатель испытает свои способности в случае 13. Он обнаружит, что это необычайно крепкий орешек.
91. Существует 12 способов расположения коробок без учета рисунков. Если бы все 13 рисунков были различны, то ответ оказался бы равен 93 312, Но поскольку в некоторых случаях коробки можно переставлять, не меняя расположения рисунков, число способов уменьшается на 1728, и, следовательно, коробки в соответствий с условиями можно расположить 91 584 способами. Я предоставляю моим читателям выяснить самостоятельно, как получаются эти числа.
92. Число способов, которыми можно разместить четырех поросят по 36 свинарникам в соответствии с заданными условиями равно 17, включая приведенный мною пример и не считая новыми расположения, полученные из данных с помощью поворотов и отражений. Яниш в своей книге Analyse Mathйmatique au jeu des Echecs (1862 г.) утверждает, что существует ровно 21 решение небольшой задачи, на которой основана данная головоломка. Поскольку я сам нашел только 17, то я вновь изучил этот вопрос и обнаружил, что он ошибается, несомненно, засчитав решения, полученные с помощью поворотов и отражений, за новые.
Вот 17 ответов. Цифры обозначают горизонтали, а их положение показывает вертикали. Так, например, 104 603 означает, что мы помещаем поросенка в первую строку и первый столбец, никого не помещаем во второй столбец, помещаем другого поросенка в четвертую строку и третий столбец, третьего – в шестую строку и четвертый столбец, никого – в пятый столбец, четвертого поросенка мы помещаем в третью строку и шестой столбец. Размещение Е я привел, формулируя условия:
A 104 603
В 136 002
С 140502
D 140 520
Е 160 025
F 160304
G 201 405
H 201 605
I 205104
J 206 104
К 241005
L 250014
M 250630
Н 260015
О 261005
С 261040
Q 306 104
–
Можно заметить, что М и Q полусимметричны относительно центра и, следовательно, с помощью поворотов и отражений породят лишь по 2 расположения каждое, что Я четвертьсимметрично и породит лишь 4 расположения, тогда как 14 других расположений породят с помощью поворотов и отражений по 8 расположений каждое. Следовательно, поворачивая и отражая данные 17 расположений, мы получим всего (2×2) + (4×1) + (8×14) = 120 способов.
Трех поросят можно поместить так, чтобы каждый свинарник располагался на одной прямой с поросенком при условии, что поросятам не запрещается располагаться на одной прямой с другими; но имеется только один способ сделать это (не считая поворотов и отражений), а именно: 105030.
93. Расположите кубики и знаки умножения следующим образом: 915×64 и 732×80; в обоих случаях произведение окажется равным максимально возможному числу 58 600.