107. Когда Монтукла в своем издании книги Озанама «Recreations in Mathematics» заявил, что «существует не более трех равновеликих прямоугольных треугольников с целыми сторонами, но имеется сколько угодно таких прямоугольных треугольников с рациональными сторонами», он, как это ни странно, упустил из виду, что если вы приведете рациональные длины сторон к общему знаменателю и удалите этот знаменатель, то получите значения целых сторон искомых треугольников.
Каждому читателю стоит знать, что если мы возьмем любые два числа m и n, то m2+n2, m2-n2 и 2тп будут тремя сторонами рационального прямоугольного треугольника.[37] Здесь m иn называются производящими числами. Чтобы образовать три таких равновеликих треугольника, мы воспользуемся следующими простыми соотношениями, где m – большее число:
тп +m2+n2 = a
m2-n2 и 2 = b
2mn + n2 = c
Теперь, если мы образуем три треугольника с помощью трех пар порождающих чисел, a и b, a и c, a и b + c, то их площади окажутся равными. Это та самая небольшая задача, о которой Льюис Кэррол писал в своем дневнике: «Сидел прошлой ночью до 4 часов утра над соблазнительной задачей, которую мне прислали из Нью-Йорка, «найти три равновеликих прямоугольных треугольника с рациональными сторонами». Я нашел два… но не смог найти трех!»
Сейчас я приведу формулу, с помощью которой мы всегда по заданному рациональному прямоугольному треугольнику можем найти рациональный прямоугольный треугольник равной площади. Пусть z – гипотенуза, b – основание, h – высота, а – площадь данного треугольника; тогда все, что мы должны сделать, – это образовать рациональный прямоугольный треугольник с помощью производящих чисел z2 и 4a и привести каждую сторону к знаменателю 2z (b2– h2), и мы получим требуемый ответ в целых числах.
Ответ в наименьших целых числах на нашу головоломку такой:
Первый принц – 518 1320 1418
Второй принц —. 280 2442 2458
Третий принц – 231 2960 2969
Четвертый принц – 111 6160 6161
Площадь в каждом случае равна 341880 квадратным единицам. Я не стану здесь подробно показывать, как именно я получил эти числа. Однако я скажу, что первые три треугольника получены описанным выше способом, отправляясь от чисел 3 и 4, которые приводят к порождающим парам 37, 7; 37, 33; 37, 40. Эти три пары чисел дают решение неопределенного уравнения
а 3b– b3а = 341 880.
Если мы сможем найти другую пару чисел, то дело будет сделано. Этими производящими числами будут 56, 55, которые и приводят к последнему треугольнику. Следующий ответ, наилучший после данного, который мне удалось найти, получается из 5 и 6, порождающих производящие пары 91, 11; 91, 85; 91, 96. Четвертой порождающей парой будет 63, 42.
Читатель поймет из того, что я сказал выше, что существует сколь угодно много равновеликих рациональных прямоугольных треугольников, стороны которых выражаются целыми числами.
108. Вот простое решение головоломки о трех девятках: 9 + 9/9.
Чтобы разделить 18 на 9[38] (или 9/10), мы, разумеется, умножим это число на 10 и разделим его на 9. В результате, как и требовалось, получится число 20.
109. Решение состоит в следующем. Партия двух игроков, в совершенстве владеющих данной игрой, всегда должна заканчиваться вничью. Ни один из таких игроков не может выиграть у другого иначе, как по недосмотру противника. Если Нолик (первый игрок) занимает центр, Крестик должен занять угол на своем первом ходу, в противном случае Нолик несомненно выиграет. Если Нолик на первом ходу занимает угол, то Крестик сразу же должен занять центр, иначе он проиграет. Если Нолик начинает с боковой клетки, то обоим игрокам следует быть очень внимательными, ибо имеется много подводных камней. Однако Нолик может безопасно для себя свести дело к ничьей, а выиграть он может лишь по недосмотру Крестика.
37
То есть треугольника, длины сторон которого выражаются рациональными числами. –