Но тот же математик понимает, что при этом нужно как-то выбрать эти "строго сформулированные основные положения", например исходить из системы аксиом и определений Евклида в геометрии. "Если, - скажет математик, - эти аксиомы и определения соответствуют свойствам окружающего нас мира, то и выводы, полученные посредством логических умозаключений, будут описывать свойства этого мира". Существует ли действительно соответствие между аксиомами и свойствами мира - этот вопрос может оставаться вне интересов такого математика. Принимая во внимание это "если", его утверждение следует признать неопровержимо верным.
Логически безупречная конструкция, исходящая из наудачу взятых посылок, сама по себе бессодержательна. Она может быть интересной головоломкой, умственной гимнастикой, игрой, но какого-либо отношения к конкретным явлениям, к свойствам мира, в котором мы живем, результаты игры могут не иметь. Наш выдающийся физик Л.И.Мандельштам очень точно говорил: "Всякая физическая теория состоит из двух дополняющих друг друга частей". Одна часть - "это уравнения теории - уравнения Максвелла, уравнения Ньютона и т.д. Это просто математический аппарат" (он, добавим мы, строго логичен, безупречен и достоверен). Но необходимую часть теории составляет также его "связь с физическими объектами". Без установления связи математической конструкции с физическим миром вещей, - говорит Мандельштам - "теория иллюзорна, пуста". С другой стороны, без математического аппарата "вообще нет теории". "Только совокупность. двух указанных сторон дает физическую теорию" [9, с.349].
"Евклидова геометрия, - говорит Эйнштейн, - если ее рассматривать как математическую систему, является лишь игрой пустых понятий (прямые, плоскости, отрезки и т.д. - все это лишь "химеры"). Если же к этому добавить, что прямая заменяется твердым стержнем, то геометрия превращается в физическую теорию, и ее теоремы, например теорема Пифагора, наполняется реальным содержанием... Геометрия может быть истинной или ложной в зависимости от того, насколько верно она отражает проверяемые соотношения между данными нашего опыта" [10].
Конечно, исторически судьба физических теорий иногда складывалась так, что математическая конструкция, созданная в недрах математики без какого-либо обращения к нуждам физики, имевшая характер именно такой "умственной игры", лишь через много десятилетий связывалась с физическими объектами и оказывалась практически очень важной. Так было, например, с теорией матриц, через много лет после ее создания оказавшейся адекватным аппаратом для описания свойств квантово-механической системы. Однако подобное несовпадение исторического и логического хода вещей ничего не меняет. Другой пример - неевклидова геометрия (см. ниже).
Более того, вера в то, что логически возможное обязательно связано с реальным миром, по существу, свойственна большинству физиков и математиков. Современный физик-теоретик П. Дирак обнаружил, что квантовая механика непротиворечиво допускает существование изолированных магнитных полюсов (в классической физике считалось, что физическое тело может обладать только совокупностью двух полюсов - северного и южного). Изложив впервые свои соображения в научной статье, Дирак закончил фразой: "Трудно допустить, чтобы природа не использовала этой возможности". И вот уже более сорока лет физики ищут в природе такой "магнитный монополь Дирака" и не находят его. Не могут они найти и причину, по которой его существование было бы "запрещено" (т.е. противоречило бы общим теоретическим принципам), и нет у них полного успокоения. Более того, именно в наши дни мы присутствуем при попытках создания всеобъемлющих теорий материи ("единых теорий поля" электромагнитных, сильных,. слабых и гравитационных взаимодействий), которые естественно включают представление о подобном монополе. Они не завершены, и пока ни одна из них не может претендовать на удовлетворяющее нас описание физической реальности. Однако тот факт, что монополь Дирака вновь вошел в "большую игру", очень многозначителен.
Но и в этом случае речь идет о теориях, в которых исходные положения для последующего строго логического (математического) развития (в их числе и сами законы логики) приняты как безусловно верные. Что, однако, дает нам уверенность в правильности исходных положений, в их соответствии свойствам познаваемого мира? Как научно установить, верны они или не верны? Можно ли это сделать с помощью чисто логических операций, доказав правильность исходных положений "научно"?