С детских лет мы чувствуем, что евклидова геометрия верна, например, что верна одна из ее исходных аксиом: через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Но Лобачевский попробовал отказаться от этой аксиомы и предположил, что через такую точку можно провести не одну - единственную, а сколько угодно прямых, не пересекающихся с данной. В результате он получил хотя и противоречащую нашим наглядным представлениям, но последовательную стройную систему, в которой выводы отличны от выводов евклидовой геометрии. Впоследствии были построены и другие неевклидовы геометрии. Вопрос о том, насколько неевклидовы геометрии соответствуют реальности, оставался открытым, пока через сто лет не была создана общая теория относительности Эйнштейна. Оказалось, что физическое тяготение, то самое, которое открыл еще Ньютон, можно представить не как действие некоторой таинственной силы, а как результат того, что пространственные соотношения в мире описываются геометрией, отличной от евклидовой, которую все учат в школе и которая верна, пока массы тел и расстояния сравнительно невелики.
Иными словами, изучая, например, строение Вселенной, в некотором смысле можно забыть о том, что существует тяготение, но зато принять, что верна не геометрия Евклида, а другая, особая геометрия. Справедливость такой неевклидовой геометрии для физического мира устанавливается не логически, а изучением и обобщением опытных фактов: обнаружением на опыте явления тяготения, описываемого законами точно определенного математического вида, подтверждением предсказаний эйнштейновской общей теории относительности.
Таким образом, истинность или ложность положений, исходных для логического построения, может быть установлена лишь способами, отличными от методов формальной логики, например сравнением с опытом. Но здесь мы сталкиваемся с тяжелой проблемой: опыт всегда ограничен. Откуда мы знаем, что на основе ограниченного опыта мы придем к неограниченно верному выводу?
Ньютон, говорит легенда, открыл закон тяготения, наблюдая падение яблока. Предположим, он наблюдал и изучал количественно это падение, чтобы прийти к достоверному заключению, даже не один, а тысячу, миллион раз, а затем на основе этих наблюдений сформулировал закон тяготения. Откуда можно черпать уверенность, что в миллион первый раз яблоко упадет в согласии с этим же законом? Неоткуда взяться такой уверенности, кроме как из нашей способности оценивать доказательность опыта, из нашей способности к суждению. В самом деле, ведь возможно бесконечное разнообразие случайностей. Могло быть, что во всем том миллионе падений, которые по нашему предположению наблюдал воображаемый, дотошный Ньютон, траектория и скорость яблока испытывали искажающее действие не учтенной Ньютоном причины - прохождения кометы, ветра, который в момент миллион первого опыта уже не дул, неравномерности вращения Земли и т.д.
Для того чтобы решиться сформулировать свой закон, Ньютон должен был предположить, что как эти причины, отсутствие которых можно было бы установить дополнительными (тоже неизбежно ограниченными!) опытами, так и множество неизвестных, но в принципе возможных других причин - неважны. Он должен был осуществить акт высочайшего интеллектуального значения и напряжения - высказать обобщающее суждение. Именно, - высказать логически недоказуемое утверждение, что установленный им закон имеет всеобщую значимость. Уверенность же в справедливости этого суждения впоследствии укреплялась всей практикой его применения, проверкой его предсказаний, плодотворностью его использования в материальной деятельности человечества. Уверенность в справедливости укреплялась, но безусловного логического доказательства это суждение не получало, что, как мы увидим ниже, было положительным фактом.
Уже сам Ньютон не ограничился рассмотрением явлений земного, "человеческого" масштаба и применил найденные им законы движения и закон тяготения к планетам и Луне. Это было очень смелым шагом. Ведь радиусы планетных орбит вокруг Солнца в десять миллиардов раз больше пути падения яблока с дерева. Объединение явлений столь различного масштаба в рамках единой закономерности, установленной на основе опытов в масштабе дерева, отнюдь не всегда возможно. Например, как выяснилось в XX веке, если по шкале масштабов пойти в обратную сторону и перейти к внутриатомным явлениям, где расстояния в десять миллиардов раз меньше, то необходимо отказаться от классической ньютоновской механики, справедливой и для падения яблока, и для движения планет, нужно перейти к более общей, принципиально иной - квантовой механике.