В математике последних ста-полутораста лет были сделаны героические усилия с целью очистить научную систему от излишних интуитивных элементов и свести их к ограниченному, раз и навсегда установленному набору таких элементов либо (были и такие попытки) вообще избавиться от них. Как мы уже говорили, математика для исследования подобных вопросов особенно удобна, поскольку здесь интуитивные элементы четко отделены от дискурсивных. Действительно, удалось показать, что многие аксиомы (например, в геометрии Евклида) излишни, число интуитивно постигаемых положений может быть существенно уменьшено. Однако, если речь идет о математике, претендующей на связь с внешним миром, полностью избавиться от них невозможно. Более того, невозможно даже раз навсегда зафиксировать некоторое конечное число аксиом с тем, чтобы после этого уже строить все остальное здание науки чисто логически. Такая формализация математики в целом, превращение ее в то, что называется дедуктивной теорией, оказывается, невозможна, и невозможность этого установили сами математики. Геделем для широкого класса математических систем (типа арифметики) быта в 1934 г. доказана строгая теорема, которую мы для наших целей можем грубо сформулировать так: какой бы набор аксиом, определений, правил ни был вначале задан, всегда в процессе развития рассуждений, в процессе развития математики мы встретимся с высказыванием, в отношении которого (если ограничиваться сформулированной уже аксиоматической основой) нельзя будет утверждать, ни что оно ложно, ни что оно истинно. Чтобы двинуться дальше, придется высказать то или иное новое аксиоматическое утверждение, не вытекающее ниоткуда, т.е. включить новый внелогический элемент. Сделав тот или иной выбор, мы получим новую математическую систему (если, разумеется, данный выбор не делает новую систему аксиом и определений противоречивой). Какая из этих систем может быть наполнена конкретным содержанием, например физическим (т. е. какая из них правильно описывает реальные свойства физического мира), - дело опыта, а следовательно, и интуитивного суждения (о доказательности опыта). Но если мы и перейдем к новому, пополненному набору аксиом и определений, все равно впоследствии история повторится. В процессе построения математики мы неограниченное число раз будем оказываться в таком положении, что потребуется принимать все новые и новые аксиомы, т.е. высказывать те или иные "ниоткуда не вытекающие" внелогические утверждения, а решение вопроса о том, какие именно утверждения соответствуют свойствам физического мира, потребует интуитивных суждений. Эта великая теорема, конечно, выдающееся достижение математической логики [10]. Надежда на доведение математической логики до такого совершенства, при котором она сумела бы охватить математику единой формальной системой, оказалась опровергнутой. Математику нельзя превратить в единую дедуктивную теорию.
Однако математика строится так, что в ней существуют огромные логические куски, не прерываемые интуитивным элементом. Здесь она полностью сохраняет дедуктивную структуру, и это едва ли не важнейшая ее черта. Часто бывает, что математик всю жизнь успешно занимается своей наукой, исходя из набора аксиом и определений, установленного до него, и нигде не встречается с необходимостью выйти за пределы чистой логики [11]. Это иногда создает иллюзию возможности чисто логического построения науки.
Интуитивное умозаключение, как мы видели, совершенно необходимо для раскрытия научной истины, относящейся к объективному миру. Но в то же время ясно, что необычайно трудно осуществить правильное суждение, не страдающее субъективностью. Не удивительно, что некоторые философы считали интуицию высшей формой проявления интеллектуальной способности. Дeкартовское "Cogito ergo sum" (Постигаю, следовательно, я существую), относилось именно к этой, высшей по его представлениям, функции интеллекта (см. у Асмуса). Эйнштейн говорил: "Высшая задача физика состоит в открытии наиболее общих элементарных законов, из которых можно было бы логически вывести картину мира... Единственным способом их постижения является интуиция" [18а, с.154].