За пределами Европы одной из самых значительных задач является дешифрование письменности бронзового века протоиндийской цивилизации, которую можно обнаружить на тысячах печатей, начиная с третьего тысячелетия до н. э. На каждой печати изображено какое-либо животное и имеется короткая надпись, но что они означают — до сих пор ставит в тупик всех специалистов. В одном необычном случае надпись обнаружили на большой деревянной доске, и она была выполнена гигантскими буквами 37 см высотой. Это мог быть самый древний в мире рекламный щит. Что, в свою очередь, означает, что грамотность не являлась привилегией исключительно элиты, и возникает вопрос, о чем же говорится в объявлении? Вероятнее всего, что это была часть рекламной кампании по выборам короля, и если бы можно было установить его личность, то этот рекламный щит проложил бы путь к остальной части письменности.
Приложение J
Математика RSA
Ниже в несложном виде дается математическое описание принципа шифрования и дешифрования с помощью RSA.
(1) Алиса выбирает два гигантских простых числа р и q. Простые числа должны быть громадными, но мы, для простоты, предположим, что Алиса выбрала числа р = 17, q = 11. Она должна хранить эти числа в секрете.
(2) Алиса перемножает их и получает число N. В нашем случае N = 187. Теперь она выбирает еще одно число — е; в нашем случае она выбрала е = 7.
(е и (р- 1) х (q — 1) должны быть взаимно простыми[39], но это — техническая сторона дела).
(3) Алиса может теперь опубликовать е и N в чем-то сродни телефонному справочнику. Поскольку эти два числа необходимы для зашифровывания, они должны быть доступны всем, кто захочет зашифровать сообщение для Алисы. Вместе эти числа называются открытым ключом. (Это число е может являться частью открытого ключа не только Алисы, но и любого другого человека. Однако у всех остальных должны быть иные значения N, которые зависят от выбора р и q.)
(4) Перед тем как приступить к зашифровыванию сообщения, оно должно быть вначале преобразовано в число М. Например, слово заменяется на двоичные цифры ASCII-кода, а эти двоичные цифры могут рассматриваться как десятичное число. После этого М зашифровывается, образуя шифртекст С, по формуле:
С= Me(mod N)
(5) Представьте, что Боб хочет послать Алисе простой поцелуй — всего лишь букву X. В ASCII-коде она представляется числом 1011000, которое эквивалентно 88 в десятичном виде. Поэтому М — 88.
(6) Чтобы зашифровать это сообщение, Боб начинает разыскивать открытый ключ Алисы и находит, что N= 187, а е = 7. Это дает ему формулу шифрования, необходимую, чтобы зашифровывать сообщения для Алисы. При М= 88 формула имеет вид:
С = 887 (mod 187)
(7) Вычислить ее на калькуляторе непросто, поскольку дисплей не способен справиться с такими огромными числами. В модулярной арифметике есть, однако, способ вычисления экпоненциальных функций. Мы знаем, что, поскольку 7 = 4 + 2+ 1, то:
887 (mod 187) = [884 (mod 187) х 882 (mod 187) х 881] (mod 187)] (mod 187) 881 = 88 = 88 (mod 187)
882 = 7744 = 77 (mod 187)
884 = 59969536 = 132 (mod 187)
887 = 881 х 882 х 884 = 88 х 77 х 132 = 894432 = 11 (mod 187)
Теперь Боб отправляет Алисе зашифрованный текст: С = 11.
(8) Мы знаем, что экпоненциальные функции в модулярной арифметике являются односторонними функциями, поэтому двигаться в обратном направлении и восстановить из С = 11 исходное сообщение М исключительно сложно. Так что Ева дешифровать сообщение не сможет.
(9) Алиса, однако, способна расшифровать его, поскольку у нее есть определенная специальная информация: ей известны значения р и q. Она вычисляет особое число d — ключ для расшифровывания, иначе известный как ее секретный ключ. Число d рассчитывается по следующей формуле: