В локе размером n ноль образуется взаимодействием полярности А n раз, то есть n А = 0.
Доказательство.
1. Запишем А + (В + С +…+ М) = Х так, что совокупность (В + С +…+ М) и есть все оставшиеся объекты локи, исключая А.
2. Полярность Х обязана принадлежать совокупности (В + С +…+ М). Более того, эта совокупность образована (n -1)А.
3. Итак, А + (n — 1)А = Х, то есть nА = Х.
4. Соответственно, Х + А = (n + 1)А. Но (n + 1)А = А, так как любой другой объект есть некоторое число взаимодействий А.
5. По свойствам нуля, доказанным в теореме 2 получается, что nА = 0. Иными словами, 0 является «последним» объектом в локе.
Примечание.
Попутно доказано, что после определения полярности А все остальные полярности «распределяются» по своим местам так, что последняя полярность занимает место нуля. Полярности выбираются произвольно, так же как и А, поэтому алфавитная последовательность не отражает необходимость. На месте нуля может оказаться любая полярность. Так образуются изоморфные локи. Число изоморфных лок будет равно числу полярностей в локе.
Суперпозиция двухполярных пространств
Суперпозиционные локи
Если аксиома 1 и аксиома 6 дают возможность взаимодействия самих лок, то возникнет вопрос о законах взаимодействия между всеми объектами, если поставлены в суперпозицию несколько лок одного числа полярностей.
Пример 13.
В своё время У.Гамильтон рискнул поставить в суперпозицию три изоморфных четырёхполярных локи. Теперь это известно как «кватернионы». Удивительно, что после этого никому не пришло в голову поставить в суперпозицию несколько изоморфных двухполярных лок. Если так же как (?)*(?) = + взять (?)*(?) = +, (j)*(j) = +, (k)*(k) = +. Согласно законам такой локи будет: (?)*(j)*(k) = +, (?)*(j) = k, (?)*(k)= j, (j)*(k)=?.
Кстати, для таких «кватернионов» выполняется комутативность!
Двухполярная лока 2
Такая лока должна иметь для суперпозиции две локи 1. Так как (0)*(0) = 0 и при иной единице (Е)*(Е) = Е, то свойства их сливаются и мы получаем тождество Е? 0.
Двухполярная лока 3
В такой локе введены в суперпозицию две двухполярных локи так, что: (А)*(А) = 0, (А)*(0) = А и (В)*(В) = 0, (В)*(0) = В по условию исходных лок. Элементами в суперпозиционной локе будут три объекта А, В, 0. Для полного комплекта взаимодействий остаётся выяснить, что будет поставлено в соответствие (А)*(В)? Постановка А, или В делает эти объекты тождественными 0. Остаётся (А)*(В) = 0. Сопоставляя с исходным, получаем парадокс (А)*(А) = (В)*(В) = (А)*(В) = 0. Здесь различие между А и В теряется.
Двухполярная лока 4
Возьмём три двухполярных локи так, что в первой будет (А)*(А) = 0, во второй — (В)*(В) = 0, в третей — (С)*(С) = 0 так, что (А)*(0) = А, (В)*(0) = В, (С)*(0) = С, (0)*(0) = 0. В этой суперпозиционной локе будет четыре объекта: А, В, С, 0.
Теорема 17. В суперпозиционной локе, состоящей из трёх двухполярных лок, законы отношений между объектами будут:
а) (А)*(А) = (В)*(В) = (С)*(С) = 0.
б) (А)*(В) = С; (А)*(С) = В, (В)*(С) = А.
в) (А)*(В)*(С) = 0.
Доказательство.
1. (А)*(А) = (В)*(В) = (С)*(С) = 0 по условию.
2. Для (А)*(В) в соответствие можно поставить только С, так как в ином случае мы получим объекты А, В тождественные единице. Если же поставить 0, то это будет противоречить условию, где (А)*(А) и (В)*(В) соответствуют 0.
3. То же самое для (А)*(С) = В, и для (В)*(С) = А.
4. Для взаимодействия (А)*(В)*(С) нельзя поставить в соответствие А, или В, или С, так как эти объекты станут тождественными единице. Остаётся объект 0, который не создаёт противоречия в системе отношений.
Двухполярная лока 5
Пять объектов А, В, С, D, 0 образованы взаимодействием четырёх лок 5. По условию (А)*(А) = (В)*(В) = (С)*(С) = (D)*(D) =0 так, что (А)*(0) = А, (В)*(0) = В, (С)*(0) = С, (D)*(0) = D, (0)*(0) = 0.
Теорема 18. В суперпозиционной локе, состоящей из четырёх двухполярных лок нельзя поставить двум объектам в соответствие третий, кроме исходных (А)*(А) = (В)*(В) = (С)*(С) = (D)*(D) =0, при этом отношения между объектами будут:
а) (А)*(В)*(С) = D, (A)*(B)*(D) = C, (A)*(C)*(D) = B, (B)*(C)*(D) = A.
б) (A)*(B) = (C)*(D), (A)*(C) = (B)*(D), (A)*(D) = (B)*(C).
в) (A)*(B)*(C)*(D) = 0.
Доказательство.
1. (А)*(А) = (В)*(В) = (С)*(С) = (D)*(D) =0 по условию.
2. Взаимодействию (А)*(В)*(С) нельзя поставить в соответствие кроме D объекты А, В, С, 0, так как иначе получим ещё одну единицу.
3. То же самое с взаимодействиями (A)*(B)*(D), (A)*(C)*(D), (B)*(C)*(D).
4. Взаимоотношению (A)*(B) нельзя поставить в соответствие А или В, так как получим тождество объектов с 0. Также нельзя поставит С, так как при (A)*(B) = С из (А)*(В)*(С) = D получим (С)*(С) = D, что противоречит условию.