Архимед, конечно, знал формально безупречные, построенные на силлогизмах доказательства Евдокса. Но Демокрит задолго до Евдокса доказал эти теоремы, разрезав мысленно конус и пирамиду на тонкие листки и соединив их затем между собой. И другие теоремы о площадях и объемах геометрических фигур атомисты решали, суммируя результаты деления этих фигур на малые элементы, уподобляемые ими неделимым атомам, или амерам. Имея дело с прямой линией, математики- атомисты представляли ее как сумму точек-амер. Площадь составляли из прямых-амер. Объем — из площадей-амер.
Сложное из простого — мировоззрение современных материалистов — было также принципом древних материалистов. И то, что сложные фигуры они разрезали на простые, было логичным — их легче анализировать, сопоставлять, измерять. А потом оставалось проинтегрировать результаты — просто сложить. Такие методы, конечно же, нагляднее и проще витиеватых рассуждений, положенных в основу метода приведения к абсурду.
Для Архимеда эта находка была подобна вспышке молнии. Древние мудрецы знали и пользовались почти теми же приемами, которые Архимед независимо от них разработал сам и пользовался втайне от всех!
Раньше Архимед знал о математических трудах Демокрита лишь с чужих слов. Обычно это была лишь хула. Мысль о строении всего сущего из малых неделимых атомов была ненавистна мудрецам древности — Платону и Аристотелю. Хотя Платон был идеалист, а его любимый ученик Аристотель — материалист, их объединяла ненависть к учению атомистов, и их стараниями труды Демокрита и его учеников и последователей были уничтожены.
Аристотель в своем сочинении «О небе» писал: «Постулируя неделимые тела, Демокрит и Левкипп должны впасть в противоречие с основами математики… Самое маленькое отступление от истины в дальнейшем ходе рассуждения увеличивается в десятки тысяч раз… Введение самой маленькой величины расшатывает великие основы математики».
Амеры, к которым атомисты сводили геометрические построения, казались не в меру строгим философам горой на пути землемера.
Эта точка зрения была даже облечена в форму принципа, определяющего математическое мировоззрение античности: «Все научные системы истинны лишь постольку, поскольку они не основаны на предположении, что непрерывное состоит из неделимых».
Архимед же нарушал этот принцип, пользуясь запрещенным методом разделения сложных фигур на элементарные.
Вот почему Архимед не пропагандировал свой способ. Вот почему после нескольких робких попыток заявить о нем он замолчал. Не понимая огромную мощь этих методов, он втайне пользовался ими. Однако при публикации облекал полученные результаты в форму общепринятых доказательств.
И вот теперь Архимед увидел, что он не одинок. Что такой мудрец, как Демокрит, при помощи «самых маленьких величин», амер, получал поистине чудесные результаты!
Архимед понял всю глубину заблуждения Платона — ведь тот знал метод Демокрита («что касается отношений линий и площадей, то разве мы, эллины, не думаем, что их возможно измерять одни другими?») и отказался от него («но это никак и никаким образом невозможно…»)!
Не близорукость ли это? Не деспотизм?
Пусть методы Демокрита не строги, но они плодотворны. Архимед убедился в этом на примере собственных работ. Он не будет больше молчать. Он не должен далее таить свой метод. Его нужно сообщить хотя бы математикам. И Архимед пишет «Послание к Эратосфену о механических теоремах».
После традиционной фразы: «Архимед Эратосфену желает благоденствовать!», он излагает программу книги: Я уже посылал тебе найденные мною теоремы, предоставив найти их доказательства… В книге мы опишем, что было обнаружено нами при помощи механики… в конце же книги напишем геометрические доказательства тех теорем».
Цель ясна — на примерах показать мощь механических методов, а затем доказать их справедливость и законность, подтвердив верность полученных результатов при помощи безупречных традиционных методов.
Это намерение — не просто шаг от одного метода к другому. Это был бунт против традиции.
Бунт Архимеда
Бунт Архимеда ограничивается чисто математическими проблемами. Он впервые поднимает принципиальный методический вопрос о роли своих методов в развитии математики. Теперь, когда он получил опору в трудах древнего мудреца, когда он перестал чувствовать себя одиноким, он хочет доказать полезность своих методов. Он не только не стыдится их огласить, как это было раньше, а стремится подчеркнуть их возможности.