Давайте представим спасателя на пляже, удобно сидящего на своем стуле и вглядывающегося в океан. Вдруг в свой бинокль он замечает в воде купальщика, который зовет на помощь. Какой дорогой можно добраться до него быстрее всего (рисунок 5)? Прямая линия, как мы все знаем, является самой короткой, однако спасатель проведет слишком много времени в воде, в которой он будет передвигаться не так быстро, как бегом по песку. Самым оптимальным путем был бы тот, что требует меньше всего времени на пребывание в воде (который идет перпендикулярно к берегу). Однако даже в этом случае спасатель слишком долго добирался бы до купальщика, так как дополнительная дистанция, которую нужно преодолеть на пляже, скомпенсировала бы время, выигранное при быстром беге. Самая выгодная по времени дорога лежит где-то между двумя рассмотренными нами.
Несколькими веками ранее французский математик Пьер де Ферма (1601-1665) нашел математическое решение для этой задачи. Он сформулировал принцип, который делал возможным иной подход к вопросам распространения света: принцип наименьшего времени. Некогда Ферма на самом деле столкнулся с дилеммой, похожей на проблему спасателя. По какой траектории будет двигаться свет, когда он проходит через границу раздела двух сред, имеющих разную плотность? Мы все знаем, что ложка, опущенная в стакан с водой, кажется сломанной: это и есть феномен преломления. В этом случае свет ведет себя таким же образом, как и спасатель: его скорость в воде меньше, чем в воздухе, что и приводит к эффекту «искажения». В 1621 году голландский астроном Виллеброрд Снелл ван Ройен рассчитал угол отклонения светового луча на границе двух прозрачных сред. Этот закон, более известный как закон Снеллиуса, в дальнейшем будет изучаться всеми лицеистами. Формулируя свой принцип, Ферма доказал, что свет подчиняется данному закону, потому что он всегда выбирает самый быстрый путь, чтобы пройти*между двумя пунктами, как и наш спасатель.
Но разве можно утверждать, что любая вещь перемещается, следуя принципу наименьшей затраты времени? Распространяется ли этот принцип на движение футбольных мячей, пушечных ядер или астероидов? Или существует какой-либо иной параметр, нежели время, который так же минимизируется, когда объект совершает какое-то перемещение? Этот параметр установил французский ученый Пьер Луи Моро де Мопертюи в 1744 году. С его именем связан новый, почти магический способ понимать движение тела без необходимости использовать законы движения Ньютона. Фейнман открыл для себя данный закон в школе благодаря своему преподавателю физики М. Бадеру:
Великая теорема Ферма
Имя Пьера де Ферма (1601-1665) ассоциируется с одной из самых известных теорем математики. В 1637 году он написал на скорую руку заметку на полях «Арифметики» знаменитого греческого математика Диофанта из Александрии (214-298 до н.э.).
В ней он сформулировал теорему («для любого натурального числа n>2 уравнение xn+yn=zn не имеет решений в целых, ненулевых числах х, у, z») и сообщил, что найденное им остроумное доказательство слишком длинное, чтобы изложить его здесь. Скорее всего это утверждение Ферма недостоверно, не только потому, что понадобилось 350 лет, чтобы снова найти это доказательство, которое не является очевидным, а также потому, что это «действительно восхитительное доказательство» занимает не менее 109 страниц № 141 журнала Annals of Mathematics, вышедшего в 1995 году.
«Однажды он позвал меня в класс и сказал мне: «У тебя скучающий вид, сейчас я расскажу тебе кое-что интересное». И он рассказал мне об одной невероятно увлекательной вещи, которая не перестает интересовать меня: о принципе наименьшего действия».
Представим себе баскетбольный мяч, летящий к кольцу. Благодаря законам Ньютона мы можем рассчитать, какова будет его траектория, анализируя действующие на него силы. С принципом наименьшего действия это больше не понадобится: достаточно наблюдать за энергией мяча в каждый момент времени. Мы знаем, что мяч, находящийся на некоторой высоте над полом, обладает потенциальной энергией. А для того чтобы перемещаться с определенной скоростью, ему необходима кинетическая энергия. Давайте подсчитаем кинетическую энергию в каждый момент движения и вычтем из нее потенциальную энергию. Далее вычислим сумму всех полученных результатов: итоговую величину принято называть действием. Принцип наименьшего действия гласит, что истинной траекторией мяча будет та, действие которой будет всегда иметь самое маленькое значение. Для любой другой траектории действие всегда будет больше действия реальной траектории. Мопертюи выразил это очень образно: «Природа бережлива во всех своих действиях».
Дальнейшее развитие принципа наименьшего действия было связано с именем Жозефа Луи Лагранжа. В 1788 году он опубликовал свой труд «Аналитическая механика», который лег в основу лагранжевой механики. Лагранж переформулировал механику Ньютона. В лагранжевой механике траектория вычисляется при помощи нахождения пути, который минимизирует действие. В основе вычислений лежит интеграл от функции Лагранжа по времени. Функция Лагранжа для классической механики вводится в виде разности между кинетической энергией и потенциальной энергией (лагранжиан). Использование лагранжиана позволяло решать некоторые проблемы, неразрешимые посредством ньютоновского подхода. Хотя школьник Фейнман был очарован принципом наименьшего действия, студент Фейнман был от него в ужасе. Его друг Тед Велтон позже заявлял:
«Фейнман отказывался соглашаться с тем, что Лагранж мог быть полезен в физике. Мы все были взволнованы элегантностью и полезностью его формулы, но Дик упрямо настаивал на том, что настоящая физика основана на идентификации сил и на правильном определении их составляющих».
По иронии судьбы, самый большой вклад Фейнмана в физику был сделан благодаря использованию этого подхода, который он так ненавидел в течение своих студенческих лет.
Революция в действии
Мир физики продвигался вперед гигантскими шагами. Весной 1938 года на устах всех ученых, работающих в этой области, были такие слова, как «ядерное деление» и «цепная реакция».
Все задумывались над способом выражения энергетического потенциала атомного ядра. МТИ решил предложить своим студентам семинар Морса на тему структуры ядра. Очевидно, что ни Фейнман, ни Велтон не упустили бы такую возможность. Напряжение витало в воздухе от всеобщего предчувствия того, что еще немного — и кто-нибудь найдет доказательства возможности расщепить атом. Так и случилось: в конце этого же года немцы Отто Ган и Фриц Штрассман при помощи Лизы Мейтнер сумели расщепить ядро урана.
Реальный опыт часто противоречит фундаментальным законам.
Ричард Фейнман
Снова Велтон и Фейнман надолго оказались на неизвестной территории без какого-либо гида. Всякий, кто желал знать больше относительно ядерной физики, должен был изучить три монументальных статьи Ханса Бете, опубликованные в журнале Reviews of Modem Physics и известные как «Библия Бете». Фейнман заинтересовался ядерной физикой, что спустя несколько лет привело его к работе над созданием первой атомной бомбы. Его преподаватели были так восхищены своим учеником, что порекомендовали выдать ему диплом на год раньше: через три года обучения, вместо положенных четырех лет. Но университет отказал в их просьбе. Во время последнего учебного года Фейнман работал над своей первой научной статьей под названием «Молекулярные силы » (опубликованной в Physical Review), ходил на лекции по металлургии, а также придумал странный аппарат для измерения зависимости между скоростями двух осей при их вращении...