где Δ – оператор Лапласа
, m – масса частицы, h – постоянная Планка, E – полная энергия, U – потенциальная энергия.
Уравнение Шредингера является дифференциальным уравнением второго порядка и имеет решение, которое указывает на то, что в атоме водорода полная энергия должна иметь дискретный характер:
E1, E2, E3…
Эта энергия находится на соответствующих уровнях n =1,2,3,…по формуле:
Самый нижний уровень E соответствует минимальной возможной энергии. Этот уровень называют основным, все остальные – возбужденными.
По мере роста главного квантового числа n энергетические уровни располагаются теснее, полная энергия уменьшается, и при n = ∞ она равна нулю. При E>0 электрон становится свободным, несвязанным с конкретным ядром, а атом – ионизированным.
Полное описание состояния электрона в атоме, помимо энергии, связано с четырьмя характеристиками, которые называются квантовыми числами. К ним относятся: главное квантовое число п, орбитальное квантовое число l, магнитное квантовое число m1, магнитное спиновое квантовое число ms.
Волновая φ-функция, описывающая движение электрона в атоме, представляет собой не одномерную, а пространственную волну, соответствующую трем степеням свободы электрона в пространстве, то есть волновая функция в пространстве характеризуется тремя системами. Каждая из них имеет свои квантовые числа: п, l, ml.
Каждой микрочастице, в том числе и электрону, также свойственно собственное внутреннее сложное движение. Это движение может характеризоваться четвертым квантовым числом ms. Поговорим об этом подробнее.
A. Главное квантовое число п, согласно формуле, определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать значения п = 1, 2, 3…
Б. Орбитальное квантовое число /. Из решения уравнения Шредингера следует, что момент импульса электрона (его механический орбитальный момент) квантуется, то есть принимает дискретные значения, определяемые формулой
где Ll – момент импульса электрона на орбите, l – орбитальное квантовое число, которое при заданном п принимает значение i = 0, 1, 2… (n – 1) и определяет момент импульса электрона в атоме.
B. Магнитное квантовое число ml. Из решения уравнения Шредингера следует также, что вектор Ll (момент импульса электрона) ориентируется в пространстве под влиянием внешнего магнитного поля. При этом вектор развернется так, что его проекция на направление внешнего магнитного поля будет
Llz = hml
где ml называется магнитным квантовым числом, которое может принимать значения ml = 0, ±1, ±2,±1, то есть всего (2l + 1) значений.
Учитывая сказанное, можно сделать заключение о том, что атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях (n – одно и то же, а l и ml– разные).
При движении электрона в атоме электрон заметно проявляет волновые свойства. Поэтому квантовая электроника вообще отказывается от классических представлений об электронных орбитах. Речь идет об определении вероятного места нахождения электрона на орбите, то есть местонахождение электрона может быть представлено условным «облаком». Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему этого «облака». Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного «облака», а квантовое число ml– ориентацию этого «облака» в пространстве.
В 1925 г. американские физики Уленбек и Гаудсмит доказали, что электрон также обладает собственным моментом импульса (спином), хотя мы не считаем электрон сложной микрочастицей. Позднее выяснилось, что спином обладают протоны, нейтроны, фотоны и другие элементарные частицы
Опыты Штерна, Герлаха и других физиков привели к необходимости характеризовать электрон (и микрочастицы вообще) добавочной внутренней степенью свободы. Отсюда для полного описания состояния электрона в атоме необходимо задавать четыре квантовых числа: главное – п, орбитальное – l, магнитное – ml, магнитное спиновое число – ms.
В квантовой физике установлено, что так называемая симметрия или асимметрия волновых функций определяется спином частицы. В зависимости от характера симметрии частиц все элементарные частицы и построенные из них атомы и молекулы делятся на два класса. Частицы с полуцелым спином (например, электроны, протоны, нейтроны) описываются асимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми—Дирака. Эти частицы называются фермионами. Частицы с целочисленным спином, в том числе и с нулевым, такие как фотон (Ls =1) или л-мезон (Ls = 0), описываются симметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Бозе– Эйнштейна. Эти частицы называются бозонами. Сложные частицы (например, атомные ядра), составленные из нечетного числа фермионов, также являются фермионами (суммарный спин – полуцелый), а составленные из четного – бозонами (суммарный спин – целочисленный).
2.8. Многоэлектронный атом. Принцип Паули
В многоэлектронном атоме, заряд которого равен Ze, электроны будут занимать различные «орбиты» (оболочки). При движении вокруг ядра Z-электроны располагаются в соответствии с квантово-механическим законом, который называется принципом Паули (1925 г.). Он формулируется так:
► 1. В любом атоме не может быть двух одинаковых электронов, определяемых набором четырех квантовых чисел: главного n, орбитального /, магнитного m и магнитного спинового ms.
► 2. В состояниях с определенным значением могут находиться в атоме не более 2n2 электронов.
Значит, на первой оболочке («орбите») могут находиться только 2 электрона, на второй – 8, на третьей – 18 и т. д.
Таким образом, совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же главное квантовое число n, называют электронной оболочкой. В каждой из оболочек электроны располагаются по подоболочкам, которые соответствуют определенному значению /. Так как орбитальное квантовое число l принимает значения от 0 до (п – 1), число подоболочек равно порядковому номеру оболочки п. Количество электронов в подоболочке определяется магнитным квантовым числом ml и магнитным спиновым числом ms.
Принцип Паули сыграл выдающуюся роль в развитии современной физики. Так, например, удалось теоретически обосновать периодическую систему элементов Менделеева. Без принципа Паули невозможно было бы создать квантовые статистики и современную теорию твердых тел.
2.9. Квантово-механическое обоснование Периодического закона Д. И. Менделеева
В 1869 г. Д. И. Менделеев открыл периодический закон изменения химических и физических свойств элементов в зависимости от их атомных масс. Д. И. Менделеев ввел понятие порядкового номера Z-элемента и, расположив химические элементы в порядке возрастания их номера, получил полную периодичность в изменении химических свойств элементов. Физический смысл порядкового номера Z-элемента в периодической системе был установлен в ядерной модели атома Резерфорда: Z совпадает с числом положительных элементарных зарядов в ядре (протонов) и, соответственно, с числом электронов в оболочках атомов.
Принцип Паули дает объяснение Периодической системы Д. И. Менделеева. Начнем с атома водорода, имеющего один электрон и один протон. Каждый последующий атом будем получать, увеличивая заряд ядра предыдущего атома на единицу (один протон) и добавляя один электрон, который мы будем помещать в доступное ему, согласно принципу Паули, состояние.