где γ = 6,7 10-11 м3/(кг • с2) – гравитационная постоянная; m1 и m2 – массы тел; r – расстояние между телами.
7. ПРИНЦИПЫ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ
Во всех инерциальных системах отсчета законы классической механики (законы Ньютона) имеют одинаковую форму; в этом сущность механического принципа относительности – принципа относительности Галилея. Он означает, что уравнения динамики при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не изменяются, т. е. инвариантны по отношению к преобразованиям координат.
x′ = x – vt, y′ = y, z′ =z, t′ = t,
где x, y, z и t; x′, y′, z′ и t′– координаты тела и время в неподвижной и подвижной системах отсчета соответственно; v – скорость подвижной системы отсчета.
Эти формулы называются преобразованиями Галилея.
Легко показать, что законы динамики Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея. Это объясняется тем, что силы и массы тел одинаковы во всех инерциальных системах отсчета и ускорения тел, которые определяются двойным дифференцированием координат по времени, также одинаковы
(a = d2x/dt2 = d2x'/dt2 = a').
Инвариантами, т. е. величинами, численное значение которых не изменяется при преобразовании координат по Галилею, являются длины и интервалы времени. Покажем это.
Пусть в подвижной системе координат находится неподвижный стержень, координаты концов которого (x´1, y1´, z´1) и (x´2, y´2, z´2). Это означает, что длина стержня в подвижной системе
Тогда относительно неподвижной системы отсчета стержень движется поступательно и все его точки имеют скорость v. Длиной движущегося стержня, по определению, называется расстояние между координатами его концов в некоторый момент времени. Таким образом, для измерения длины движущегося стержня необходимо одновременно, т. е. при одинаковых показаниях часов неподвижной системы отсчета, расположенных в соответствующих точках, отметить положение концов стержня. Пусть засечки положения концов движущегося стержня сделаны в неподвижной системе координат в момент времени t и характеризуются координатами (х1, у1, z1) и (х2, у2, z2). Тогда для длины стержня в неподвижной системе отсчета будем иметь
т. е. длина стержня в обеих системах координат одинакова. Это позволяет утверждать, что длина является инвариантом преобразований Галилея.
8. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
В 1904 году Лоренц предложил формулы для преобразования координат, которые обеспечивают инвариантность уравнений Максвелла при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой:
где с – скорость света в вакууме.
Формулы были названы Пуанкаре преобразованиями Лоренца.
Инвариантным относительно преобразований Лоренца является так называемый пространственно-временной интервал, или просто интервал. Пусть события произошли в точке х1, у1, z1 в момент времени t1 и в точке х2, у2, z2 в момент времени t2. Интервалом между событиями, или, как говорят, интервалом между точками х1, у1, z1, t1 и х2, у2, z2, t2, называется величина s, квадрат которой определяется формулой
S2 = С2 (t2 – t1)2 – (Х2 – Х1)2 – (У2 – У1)2 – (Z2 – Z1)2. (1)
В подвижной системе отсчета квадрат интервала S записывается в виде
Подставляя формулу (1) в (2), убедимся, что s2 = s'2 = inv. Впервые понятие интервала ввел Пуанкаре, и он же показал, что интервал является инвариантом при преобразованиях Лоренца.
Из преобразований Лоренца следует сокращение длины движущегося стержня, а именно
где l = x2 – x1 и l' = x'2 – x1, и замедление хода движущихся часов, а именно
, где Δt = t2– t1 и Δt' = = t'2-t' 1.
9. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
В основе специальной теории относительности, созданной Лоренцем, Пуанкаре и Эйнштейном и представляющей собой фактически физическую теорию пространства и времени, лежат два постулата: принцип относительности; принцип постоянства скорости света.