К этому времени основные силы противника покинули высоту. В 12 часов 30 минут 5-й батальон морской пехоты аргентинцев, после боев за Тамблдаун отступивший на Сэппер, отошел в Порт-Стенли. Для прикрытия отступления основных сил батальона на высоте осталась часть роты «М» и небольшое подразделение 4-го пехотного полка, ранее оборонявшего высоту Ту Систерз.
Атака аргентинских позиций на высоте Сэппер началась в 13 часов 5 минут. Не дожидаясь подхода основных сил 45-го батальона, рота «С» 40-го батальона, наступавшая в авангарде батальонной группы подполковника Д. Рикеттса, начала движение к вершине холма. Взвод морских пехотинцев под командованием второго лейтенанта Купера первым атаковал аргентинцев. Однако, попав под плотный пулеметный огонь противника, британцы были вынуждены остановиться.
Предпринять повторную атаку англичане не успели. Капитан Р. Чиончи, командовавший аргентинским арьергардом, получил приказ — оставить высоту и отступить в город. Только после того как, аргентинцы освободили высоту, британцы возобновили свое продвижение вперед. Полностью высота Сэппер перешла к ним в 16 часов 30 минут. Продолжалось движение вперед британских частей и в полосе наступления 3-й бригады морской пехоты. В 13 часов рота «А» 2-го парашютно-десантного батальона в сопровождении легких танков «Скорпион» направилась к Порт-Стенли. Во втором эшелоне батальона наступали роты «В» и «D». После полудня подразделения роты «А» вошли в предместье Порт-Стенли и закрепились на достигнутых рубежах.
К этому времени, система обороны противника перестала существовать. Аргентинцы все еще удерживали городские кварталы и аэродромный полуостров, но потеряли оборонительные позиции сухопутного фронта, большую часть артиллерии и половину зенитных средств. И хотя в строю оставалось около 8 тыс. человек, боеприпасы и продовольствие не были полностью исчерпаны, гарнизон уже больше не мог продолжать борьбу. Аргентинские командование утратило управление над войсками, на некоторых участках солдаты без приказания покидали свои позиции и неорганизованно отходили в город. Моральный дух защитников Порт-Стенли оказался сломленным.
Военный губернатор Менендес и начальник сухопутной обороны Порт-Стенли бригадный генерал Хофре больше не видели смысла в продолжении сопротивления. Еще утром Менендес обратился к президенту Аргентины с просьбой санкционировать прекращение огня. Гальтиери ответил категорическим отказом, он потребовал у генералов удержать город любой ценой. По его мнению, количество понесенных гарнизоном потерь и уровень имеющихся в войсках материальных средств, вполне позволяли вести борьбу.
Однако генерал Менендес уже принял решение, в середине дня он приказал связаться с британским командующим и начать переговоры о перемирии. По приглашению аргентинского губернатора, в расположение его штаб-квартиры прибыла группа английских офицеров. В 15 часов представитель британского командования, полковник М. Роуз, которого сопровождал переводчик и связист, вертолетом «Газель» был доставлен в Порт-Стенли.
После обсуждения вопросов, связанных с прекращением огня, когда стало ясно, что аргентинцы готовы капитулировать, для участия в переговорах был приглашен генерал Мур. Генерал прибыл в Порт-Стенли на борту вертолета «Си Кинг», в 19 часов 59 минут он возглавил британскую делегацию. После обмена обычными формальностями, аргентинскую сторону ознакомили с текстом акта о капитуляции. Генерал Менендес внес в текст ряд поправок. Его просьбу исправить формулировку «безоговорочная капитуляция» на «капитуляция» англичане удовлетворили, но категорически отказались заменить название архипелага «Фолклендские острова» на «Мальвинские острова». В ходе переговоров, генерал Мур пообещал Менендесу, что с пленными аргентинскими солдатами будут обращаться с «подобающим почетом и уважением», в соответствии с пунктами Женевского соглашения от 1949 г. Он заверил аргентинцев в том, что британское командование приложит максимум усилий для скорейшей отправки пленных на континент. В 20 часов 59 минут капитуляция была подписана.
Утром 15 июня подразделения 2-го и 3-го парашютно-десантных батальонов торжественным маршем вошли в Порт-Стенли. Перед резиденцией губернатора был поднят флаг Великобритании. В этой церемонии приняли участие морские пехотинцы из подразделения 8901, на базе которого была сформирована рота «J» 42-го батальона морской пехоты. Именно бойцы этого подразделения первыми вступили в бой с аргентинцами 2 апреля 1982 г.