Задача нахождения легчайшего пути при спуске с горы немного другая. Ваша цель — не побыстрее спуститься с горы, а затратить при этом как можно меньше усилий. Сложность состоит в том, что после того как вы спуститесь с определенной высоты, вам придется преодолеть горизонтальный участок (чтобы попасть к выходу реки на равнину). Вы можете выбрать пологие участки, по которым спускаться тяжелее, но которые зато покрывают большую часть пути, а можете выбрать крутые участки, где спускаться хотя и легче, но высота теряется слишком быстро. Мы можем написать выражение для усилия в виде:
(усилие) = (потеря высоты) × (сложность спуска).
Здесь сложность определяется тем, с каким напряжением вам придется спуститься с данной высоты. И мы знаем, что сложность тем больше, чем более плоска на данном участке тропа.
Мы, как и в случае сложения интервалов времени при движении между двумя точками пространства, должны суммировать усилия при спуске от начальной точки до конечной, разделив весь путь на маленькие отрезки. Затем для каждого такого маленького отрезка мы умножим потерю высоты на этом отрезке на сложность его преодоления и в результате найдем усилие, затраченное на спуск на этом сегменте пути. Суммируя все эти небольшие усилия, мы получим полное усилие, затраченное на весь спуск с горы.
Процедура расчета проста: и для вычисления времени, затраченного на путь, и для вычисления усилий, затраченных на спуск, мы должны сначала разделить весь путь на сегменты, затем умножить каждый интервал на некую величину — назовем ее, скажем, L, и наконец просуммировать все произведения. Величина L может зависеть от различных особенностей пути, например, от скорости или от того, насколько тяжело приходится работать, спускаясь со склона с заданной крутизной. Нахождение оптимального пути сводится к тому, чтобы просуммировать L по каждому пути, получить для него значение суммы — назовем ее S, — а затем выбрать путь с минимальным S. И этим способом находится как путь с минимальным временем, так и путь с минимальным затраченным усилием.
Это похоже на решаемую нами проблему, а значит, нужно рассмотреть все возможные пути, ведущие вниз с горы, разбить каждый из них на сегменты, найти крутизну каждого сегмента, определить, насколько сложно будет тащить повозку по склону с данной крутизной (имея в виду, что крутизна не может быть ниже критической величины, так как при меньшей крутизне повозка двигаться не будет), умножить сложность преодоления этого участка на его высоту и просуммировать результаты по всем сегментам. Повторить эту процедуру для всех троп и в конце концов найти ту, для которой суммарное усилие окажется наименьшим.
Что-то слишком уж трудоемко, правда? И как же вы поступите на практике? Разумеется, не так — следовать правилам слишком сложно. Вместо этого вы скорее всего выберете путь с разумным перепадом высоты при разумной длине пути — то есть самую подходящую тропу. Для начала вы хорошенько осмотритесь, наметите еще сверху, с перевала, соответствующее направление — так, чтобы не застрять где-то, а затем справитесь со спуском и вдобавок получите удовольствие от окружающего пейзажа.
И разве не удивительно, что, спустившись по выбранной тропе, вы обнаружите, что выбрали в точности самый простой из всех возможных путей, ни разу не сделав неправильного поворота?
И это как раз то самое, что делают физические частицы! Через 150 лет после Галилея Джозеф Луи Лагранж вывел замечательную систему уравнений, в которых лагранжиан (мы ввели обозначение L не случайно) связывается с силой, действующей на частицу, перемещающуюся в пространстве-времени между двумя событиями. Эти уравнения позволяют нам взглянуть на ту же физику, то есть на законы, которые определяют то, как объекты перемещаются в пространстве и времени, с двух разных, но эквивалентных точек зрения.
С одной точки зрения (с которой мы уже познакомились), объект в каждый момент подвергается действию силы, принуждающей его изменить скорость определенным образом. Действие этой силы во времени определяет траекторию частицы.