Парадокс таится в самой формуле эффекта Доплера, верной только для скоростей, небольших в сравнении со скоростью света. Когда скорость сравнима со скоростью света, относительность, столько раз заставлявшая менять формулы и понятия классической физики, обязывает нас скорректировать и формулу эффекта Доплера. Релятивистский ее вариант выглядит так:
λ = λ0√((1+v/c)/(1-v/c)),
где, как и прежде, λ — длина волны спектральной линии удаляющейся галактики, λ0 — длина волны той же линии в состоянии покоя, v — скорость галактики и с — скорость света. Тогда z равно:
λ = (λ-λ0)/λ0 = √((1+v/c)/(1-v/c))-1,
вместо простой формулы z = v/c. Отношение скорости (кажущейся) и расстояния не является линейным. С такой формулой невозможно достичь скорости света. Предположим, что z = 10, это самая большая величина z для галактики, измеренная на сегодняшний день. Выражая ее с помощью классической формулы, мы получим, что скорость галактики равна 10с, но, согласно представленной выше релятивистской формуле, v = (120/122) с. Это очень много, но не больше скорости света.
Следующая таблица получена с помощью закона Хаббла и доплеровской интерпретации г. В действительности соотношение [z, r] зависит от принятой модели Вселенной.
| Ориентировочная таблица красных смещений | ||
| z = 0,003 | 40 мегасветовых лет | v=900 км/с |
| z=0,03 | 400 мегасветовых лет | v=9000 км/с |
| z = 0,3 | 4 гигасветовых года | v=90 000 км/с |
| z= 1 | 12 гигасветовых лет | v=3/5c |
| z=5 | Вселенная была в 6 раз меньше, чем сейчас | v=12/13c |
| z=10 | Самая дальняя обнаруженная галактика | v=120/122c |
Во-вторых, теория предполагала, что
v→= H(t)r→,
где сейчас H(t) — функция времени ty которое специально указывается для разных моделей Вселенной. Эта функция H(t) получила название функции Хаббла, постоянная Хаббла — значение этой функции в настоящий момент, то есть Н0 = H(t = t0), где t0 — актуальное время, прошедшее с Большого взрыва. Как исключение, в модели де Ситтера функция H(t) на самом деле является постоянной.
Итак, мы «не видим настоящего». Когда мы наблюдаем галактику, мы видим, какой она была за определенное время до момента наблюдения, и это время равно r/с, потому что оно зависит от скорости света. Мы «видим прошлое». Когда расстояние до галактики не слишком велико, эта разница не так важна, но если оно значительное, величина функции Хаббла меняется, отношение Хаббла перестает быть линейным. Таким образом, закон Хаббла действует только для небольших расстояний или, что то же самое, для малых величин z (по сравнению с единицей), на практике меньше 150 миллионов световых лет. Для очень небольших расстояний закон Хаббла также выполняется не полностью, потому что к скорости расширения нужно добавить специфическую скорость каждой галактики. Так же как молекулы жидкости приобретают определенную скорость в результате термического возбуждения, галактики имеют специфическую скорость, равную случайной величине, поэтому мы должны записать
v - H0r + V,
где V — специфическая скорость. Она в среднем составляет 600 км/с. Например, специфическая скорость нашей собственной галактики имеет такое значение, когда за основу берется реликтовое излучение. Обычно эта величина V не учитывается по сравнению со скоростью расширения, но если г очень мала, V может стать доминантной, при этом она может быть как положительной, так и отрицательной. По этой причине Андромеда приближается к нам, а не удаляется. Из-за близости Андромеды именно у этой галактики Слайфер впервые определил радиальную скорость. Кроме того, Андромеда и Млечный Путь формируют (практически) бинарную систему, то есть они связаны и взаимно притягиваются.
Эта скорость равна примерно 600 км/с, и эта величина хорошо известна благодаря измерениям космического микроволнового излучения, или реликтового излучения (Cosmic Microvawe Background, СМВ), возникшего, когда ядра водорода и гелия соединились с электронами (эпоха рекомбинации, z = 1100). Это проиллюстрировано на рисунке 1.