С. В. Ковалевская нашла примечательный случай движения твердого тела, именно прибегая к средству, которым она прекрасно владела, — к интегрированию диференциальных уравнений при помощи рядов… Современный математический анализ обладает одним крупным и пока неизбежным недостатком: слишком большою сложностью… Под влиянием этой сложности многие начинают сомневаться в самой пользе современного математического анализа, находя, что именно вследствие этой сложности, он, будто бы, не может когда-либо даже в будущем послужить к выяснению законов и явлений природы. Раздаются скептические голоса, что современный анализ блуждает в непроходимых дебрях, из которых нет выхода. И вот, как раз вовремя, подоспевают нам на помощь такие открытия в области, прикладной математики, которые оживляют наши надежды, рассеивают наши сомнения. Таков именно главный результат, найденный С. В. Ковалевской и изложенный в ее мемуаре о движении твердого тела».
Такие же отзывы находятся во всех последующих обзорах трудов Софьи Васильевны, вплоть до появившегося недавно в русском издании очерка П. Таннери о развитии естествознания в Европе за последние триста лет. Здесь отмечена связь теоретических работ Ковалевской с запросами жизни. «Несмотря на всю абстрактность своих изысканий, — пишет автор очерка, выдающийся французский ученый П. Таннери, — чистая математика все время поддерживала связь с миром реальных явлений. Изыскания эти вызывались к жизни необходимостью найти общие методы решения конкретных задач и потребностью построения физических теорий в гораздо большей степени, чем это принято думать. Софья Ковалевская открыла своей работой новый случай интегрируемости диференциальных уравнений движения при помощи тета-функций двух независимых переменных и дала замечательный пример приложения новейших аналитических теорий к механике».
Работа о движении твердого тела упрочила положение Софьи Васильевны как профессора, и она могла быть спокойной за свою! дальнейшую судьбу в материальном отношении. Ей хотелось приложить свои знания на родине. Но, по уставу российских университетов, женщины не допускались к занятию кафедры, и двоюродный брат Ковалевской, крупный военный деятель, генерал А. И. Косич, возбудил вопрос о приглашении ее в Академию наук. От имени президента академии, посредственного поэта, но ближайшего родственника царя, великого князя Константина Константиновича, заигрывавшего с либеральной общественностью, был послан Косичу такой ответ: «Его императорское высочество, августейший президент императорской Академии наук изволил приказать мне сообщить вам, что Софья Васильевна Ковалевская, приобревшая за границею громкую известность своими научными работами, пользуется не меньшею известностью и между нашими математиками.
Особенно лестно для нас то, что г-жа Ковалевская получила место профессора математики в Стокгольмском университете. Предоставление университетской кафедры женщине могло состояться только при особо высоком и совершенно исключительном мнении об ее способностях и знаниях, а г-жа Ковалевская вполне оправдала такое мнение своими, поистине, замечательными лекциями».
Из этих признаний президент императорской Академии сделал вывод, что Ковалевской не место в царской России: «Так как доступ на кафедры в наших университетах совсем закрыт для женщин, каковы бы ни были их способности и познания, — заявляет царский родственник, как нечто само собою разумеющееся и не подлежащее оспариванию, — то для г-жи Ковалевской в нашем отечестве нет места столь же почетного и хорошо оплачиваемого, как то, которое она занимает в Стокгольме. Место преподавателя математики на Высших женских курсах гораздо ниже университетской кафедры; в других же наших учебных заведениях, где женщины могут быть учителями, преподавание математики ограничивается одними элементарными частями».
Академические математики загладили эту фарисейскую выходку великого князя и поспешили официально признать ученые заслуги Софьи Васильевны. Не имея возможности предоставить ей штатное место в Академии, они избрали Ковалевскую членом-корреспондентом и быстро провели это дело через общее собрание 8 ноября 1889 года. Софья Васильевна получила в Стокгольме следующую телеграмму из Петербурга: «Наша Академия наук, только что избрала вас членом-корреспондентом, допустив этим нововведение, которому не было до сих пор прецедента. Я очень счастлив видеть исполненным одно из моих самых пламенных и справедливых желаний. Чебышев».
Софью Васильевну это избрание могло радовать только как моральная победа. Однако, через полгода, когда Софья Васильевна приехала в Петербург, академики показали, что это внимание было случайным. Когда Ковалевская представила в мае 1890 года в Петербургскую Академию свою новую работу, то некоторые академики проявили к ней самое грубое недоброжелательство, возникшее на почве их групповых взаимных дрязг и склочничества. А когда она захотела, в качестве члена-корреспондента Академии, присутствовать на заседаниях математического отделения, то ей заявили, что это, не в обычаях Академии.
Более существенным во всех отношениях было для С. В. Ковалевской признание ее научной деятельности со стороны Шведской академии, которая присудила ей в 1889 году за дальнейшее развитие темы о движении твердого тела вокруг неподвижной точки премию в 1500 крон.
Профессор Н. Е. Жуковский пишет, что при встрече в 1889 году в Париже с знаменитым математиком Анри Пуанкаре, он заговорил с ним о работах Софьи Васильевны. Французский ученый заявил, что задуманная Ковалевской новая работа несомненно разрешит еще более важный математический вопрос. Профессор Миттаг-Леффлер заявляет, что этот труд Софьи Ковалевской, по своему заданию и по намеченному пути к его разрешению, мог быть поистине гениальным. Но смерть прервала ученую деятельность Софьи Васильевны, и при оценке результатов ее научной работы задуманное исследование не может быть учтено. В статье о научной деятельности С. В. Ковалевской и о значении ее работ в ряду сочинений других женщин-математиков профессор А. В. Васильев говорит, что она «несомненно, оставила неизгладимый след в двух областях, занимающих весьма важное место в общей системе математических наук. Эти две области, во-первых, интегрирование диференциальных уравнений с помощью степенных рядов и, во-вторых, вопрос о движении твердого тела около неподвижной точки.
Исследования ее и в той, и в другой области тесно связаны с классическими работами ее учителя, знаменитого немецкого математика Карла Вейерштрасса. Когда Софья Васильевна оставила Берлин, их дружба поддерживалась оживленною перепискою. К сожалению, Вейерштрасс после смерти Ковалевской сжег все ее письма к нему; но сохранилось до восьмидесяти писем Вейерштрасса, которые, представляя большой интерес для математика, позволяют верно судить об отношениях Вейерштрасса и Ковалевской. Скептикам, склонным преувеличивать влияние Вейерштрасса и его участие в мемуарах ученицы, эти письма должны представить особенный интерес, как признание учителем талантливости и самостоятельности Ковалевской».
В одном письме 1874 года к Софье Васильевне Вейерштрасс заявляет: «Твое замечание об уравнениях с частными производными много объяснило мне в этом вопросе и служило мне побуждением к очень интересным исследованиям. Я желаю, чтобы в будущем моя дорогая ученица этим путем вознаграждала своего учителя и друга».
С. В. Ковалевская оправдала надежды своего знаменитого учителя и, как отмечает проф. Некрасов, своей кратковременной научной деятельностью, прерванной в том возрасте, когда многие только начинают самостоятельно работать, она доказала, что умела искуснейшим образам пользоваться научными методами, распространяла их, делая совершенно новые, блестящие открытия и легко управляясь в своих исследованиях с громаднейшими затруднениями.