Интерес к степенным законам объясняется тем, что они позволяют выстроить на удивление простую математическую модель для целого ряда сложных явлений. Кроме того, их очень легко обнаружить. Как мы уже видели, две переменные подчиняются степенному закону, если точки на графике в двойном логарифмическом масштабе образуют прямую линию.
Однако в последнее время все чаще высказываются предположения о том, что ученые слишком спешат с выводами о присутствии степенного закона в полученных ими данных, поскольку в ряде случаев точки данных образуют на графике кривые линии, и их необходимо описывать другими уравнениями[51]. Безусловно, это важная тема для обсуждения, но она выходит за рамки данной книги. Тем не менее у степенных законов есть один аспект, который отрицать невозможно: они обладают одним удивительным математическим свойством.
Рассмотрим уравнение степенного закона: 
. Построив график этого уравнения для значений x от 2 до 10, мы получим первую кривую, изображенную ниже; график уравнения для значений x от 20 до 100 даст нам вторую кривую, изображенную ниже.
Кривая на графике в двух масштабах
Вы заметили разницу? Кривые абсолютно одинаковы. На самом деле, если построить кривую от n до 5n для любого значения n, она будет выглядеть точно так же, как на рисунке выше. Кривые для значений x от a до b всегда одинаковы, если отношение a/b представляет собой постоянную величину. Степенные законы раскрывают одну и ту же закономерность в любом масштабе, как бы далеко по хвосту вы ни продвинулись.
Если говорить о длинных хвостах, то такой был у Годзиллы.
Рост этого японского монстра (мутировавшего динозавра) — около 100 метров, что примерно в 50 раз больше роста высокого взрослого человека. А теперь представьте себе человека в 50 раз выше обычного роста, но с телом такой же формы. Этот увеличенный человек был бы в 50 раз шире и в 50 раз толще, а значит, в 50 × 50 × 50 = 125 000 раз тяжелее, чем раньше. Однако его кости в поперечном сечении увечились бы только в 50 × 50 = 2500 раз, стало быть, каждый квадратный дюйм его костей должен был бы поддерживать в 50 раз больше веса. Кости гигантского человека сломались бы при первой же попытке сделать шаг. Годзиллу постигла бы та же участь.
Согласен, нет ничего утомительнее, чем ворчание умника, утверждающего, что в реальном мире такой монстр просто не выжил бы. Тем не менее этот аргумент объясняет, почему животные разных размеров имеют разную форму. Чем крупнее животное, тем толще должны быть его кости относительно роста[52]. К такому выводу впервые пришел Галилей в 1638 году. У слона кости пропорционально толще, чем у человека, кости которого, в свою очередь, пропорционально толще костей собаки. Галилей понял, что у более крупных животных кости толще, потому что им приходится выдерживать больше веса в расчете на размер поперечного сечения кости.
Наблюдение Галилея можно представить в виде уравнения, в котором фигурируют площадь и объем. Утверждение о том, что площадь объекта в поперечном сечении находится в прямо пропорциональной зависимости от квадрата высоты, тогда как объем — в прямо пропорциональной зависимости от куба высоты, можно выразить двумя уравнениями:
площадь = l (высота)2;
объем = m (высота)3,
где l и m — константы.
Исключив переменную «высота», получим следующее уравнение:
Его можно преобразовать так:
А это уравнение можно отнести к следующему типу:
y = kxa,
где x и y — переменные, а k и a — константы.
Уравнение данного типа также называется степенным законом. Когда степенной закон выражен в такой форме, говорят, что переменная y находится в прямой пропорциональной зависимости от xa, а когда он представлен в виде уравнения
51
Michael P. H. Stumpf and Mason A. Porter, Critical Truths About Power Laws, Science, 2012; Aaron Clauset, Cosma Rohilla Shalizi, and M. E. J. Newman, Power-Law Distributions in Empirical Data, SIAM Review, 2009.
52
В книге Discourses and Mathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences («Беседы и математические доказательства двух новых наук») Галилей сделал следующий набросок двух костей — маленькой и тонкой, а также большой и толстой. Он писал, что у большого животного большая кость «выполняла бы ту же функцию, что и маленькая кость у маленького животного».
Компания по выпуску игрушек для собак Nylabone продает нейлоновые жевательные кости, имеющие точно такую же форму, как на представленном ниже рисунке. В компании утверждают, что эти кости (получившие название Galileo) — «самые прочные жевательные кости для собак».
