Помимо окружностей можно вспомнить параллельные линии, которые никогда не пересекаются, всевозможные треугольники, квадраты, прямоугольники и другие правильные фигуры. Все они представляют собой хорошо описанные математические объекты, состоящие из линий. Известны их основные характеристики, изучены возможности, возникающие при их пересечении или наложении друг на друга. Все это выводится последовательно, шаг за шагом. Например, зная свойства параллельных линий, можно доказать, что сумма углов любого треугольника равняется 180° (см. приложение).
Геометрия – это простая, изящная, логичная система. Она приносит нам радость, она красива. Красива? Да, древние греки считали ее именно красивой, и это – ключ к их мышлению. Они изучали геометрию не как сегодняшние школьники – просто чтобы поупражняться. И не только практические интересы – возможность использовать геометрию в землемерии или судоходстве – руководили ими. Для древних греков геометрия была способом постичь вселенские основы мироздания. Если мы оглянемся вокруг себя, то будем поражены разнообразием, представшим нашему взору: нас обступят разные формы, разные цвета. Великое множество вещей совершается в один и тот же миг – случайно, хаотично. Древние греки верили в то, что всему этому есть некое простое объяснение, что за этим великим разнообразием непременно скрывается нечто простое, правильное, логичное, способное все объяснить. Нечто вроде геометрии.
Параллельные прямые не пересекаются. Мы можем перефразировать это утверждение, сказав, что прямая, пересекающая параллельные линии, образует накрест лежащие углы, равные друг другу. Если бы они не были равны, то прямые бы встретились или разошлись, то есть не были бы параллельными. Для обозначения углов мы пользуемся буквами греческого алфавита. На рисунке слева греческая буква альфа (а) показывает два равных угла. То, что в геометрии используют символы греческого алфавита, напоминает нам о происхождении этой науки. Здесь мы используем три буквы: альфа (а), бета (в) и гамма (у).
Итак, из нашего определения параллельных прямых мы можем вывести сумму углов любого треугольника. Расположим треугольник ABC (справа) внутри двух параллельных линий и применим главный принцип геометрии: найдем способ использовать известное для нахождения неизвестного. Угол а у точки A равен углу а у точки B, так как они являются накрест лежащими углами, образованными при пересечении параллельных прямых секущей. Точно так же угол γ у точки C равен углу γ у точки B. Верхняя прямая, проходящая через точку B, складывается таким образом из трех углов: α + β + γ. Вместе они образуют прямую линию, а она, как известно, дает угол в 180°.
Таким образом, α + β + γ = 180°. Используя параллельные линии, мы выяснили, что сумма внутренних углов треугольника также равняется α + β + γ. Значит, сумма внутренних углов треугольника равняется 180°.
Для доказательства теоремы, связанной с треугольниками, мы использовали знание о свойствах параллельных линий.
Древние греки не занимались наукой в современном смысле этого слова. Они не выдвигали гипотез, которые затем необходимо было проверять с помощью эксперимента. Они считали, что нужно просто совершить интеллектуальное усилие и хорошенько подумать – и тогда верное решение будет найдено. Иными словами, они действовали по принципу «интуитивного озарения». Один греческий философ сказал, что вся материя состоит из воды (посмотрите, как отчаянно они стремились найти максимально простое решение). Другой философ утверждал, что вся материя состоит из четырех элементов: земли, огня, воздуха и воды. Третий заявил, что на самом деле все состоит из маленьких частиц, которые он назвал атомами, и попал в самую точку! Он достиг «интуитивного озарения», до которого мы дошли только в XX в.
Когда около 400 лет назад, то есть через 2000 лет после древних греков, появилась та наука, которую мы знаем сегодня, она начинала свой путь с опровержения главных достижений древнегреческого знания, пользовавшегося тогда наибольшим авторитетом. Однако, опровергая греков, наука того времени была проникнута тем же убеждением, что ответы на возникающие перед ней вопросы должны быть простыми, логичными, математически выверенными. И Ньютон, и Эйнштейн – крупнейшие ученые семнадцатого и двадцатого столетий – говорили, что верное решение должно быть простым. Они оба могли представить свои идеи в виде математических уравнений, которые описывали и состав материи, и то, как она движется.