В течение многих веков механика рассматривалась как наука о простых статических машинах. Ее основой была теория рычага, изложенная Архимедом в сочинении «О равновесии плоских фигур». В основе этой теории лежат следующие постулаты:
«1 Равные тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивают тяжести на большей длине.
2. Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавлно, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой было прибавлено.
3. Точно так же если от одной из тяжестей будет отнято что-нибудь, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, от которой не было отнято».
Не подлежит сомнению, что постулаты проверены длительной технической практикой, которая делает их «очевидными». Основываясь на этих постулатах, Архимед доказывает следующие теоремы: «Соизмеримые величины уравновешиваются на длинах, которые будут обратно пропорциональны тяжестям». И далее: «Если величины будут несоизмеримы, то они точно так же уравновесятся на длинах, которые обратно пропорциональны этим величинам». В этих предложениях содержится первая точная формулировка закона рычага. При этом под «величинами» следует понимать модули сил, действующих на рычаг.
Кроме закона рычага, в книге «О равновесии плоских фигур» содержатся определения центров тяжести треугольника, параллелограмма, трапеции, параболического сегмента, трапеции, боковые стороны которой являются дугами парабол. Понятие центра тяжести предполагается известным, и в начале книги приводятся постулаты о центрах тяжести (при совмещении конгруэнтных фигур центры тяжести совмещаются; центры тяжести подобных фигур подобно же расположены; у фигур с выпуклым периметром центр тяжести находится внутри фигуры). Само же определение центра тяжести, данное Архимедом, встречается в сочинении Паппа Александрийского, жившего в конце III в. н. э. Это определение гласит: «Центром тяжести каждого тела является некоторая расположенная внутри его точка —такая, что если за нее мысленно подвесить тело, то оно остается в покое и сохраняет первоначальное положение». Чтобы прийти к этому определению, понадобился длительный практический опыт, обобщением которого и явилась механика Архимеда.
Как мы уже говорили, Архимед использовал полученные им в механике результаты для формулировки математических выводов. Так, он использует закон рычага при вычислении площади параболического сегмента и объем шара. Эти вычисления Архимеда являются начальным этапом интегрального исчисления.
Переходим теперь к знаменитому закону Архимеда. Этот закон изложен в сочинении «О плавающих телах»
Сиракузы были портовым и судостроительным городом. Вопросы плавания тел ежедневно решались практически, и выяснить их научные основы, несомненно, казалось Архимеду актуальной задачей. Правда, существует легенда, что Архимед пришел к своему закону, решая задачу, содержит ли золотая корона, заказанная Гиероном мастеру, посторонние примеси или нет. Но задача, поставленная Гиероном, требовала знания объема короны и объема золота того же веса и, собственно, закона Архимеда для своего решения не требовала.
Вероятно, мотивы работы Архимеда были все же более глубокими. Он разбирает не только условия плавания тел, но и вопрос об устойчивости равновесия плавающих тел различной геометрической формы. Научный гений Архимеда в этом сочинении, оставшемся, по-видимому, незаконченным, проявляется с исключительной силой. Полученные им результаты получили современную формулировку и доказательство только в XIX в.
Сочинение Архимеда начинается описанием природы жидкости, которая, по Архимеду, такова, «что из ее частиц, расположенных на одинаковом уровне и прилегающих друг к другу, менее сдавленные выталкиваются более сдавленными, и что каждая из ее частиц сдавливается жидкостью, находящейся над ней, по отвесу». Это определение позволяет Архимеду сформулировать основное положение: «Поверхность всякой жидкости, установившейся неподвижно, будет иметь форму шара, центр которого совпадает с центром Земли».
Таким образом, Архимед считает Землю шаром и поверхность тяжелой жидкости, находящейся в равновесии в поле тяжести Земли, сферической. Он доказывает далее, что тела одинакового удельного веса с жидкостью (он называет их «равнотяжелыми с жидкостью») погружаются настолько, что их поверхность совпадает с поверхностью жидкости. Более легкое тело погружается настолько, что объем жидкости, соответствующий погруженной части тела, имеет вес, равный весу всего тела. Путем логических рассуждений Архимед приходит к предположениям, содержащим формулировку его закона: