различии “земного” и “небесного” оказалось несостоятельным. Учение Коперника заставило пересмотреть и другие отрасли естествознания, в частности, физику, и освободить науку от устаревших и схоластических традиций, тормозивших ее развитие. После Коперника исследование природы, по существу, освободилось от религии и развитие науки пошло гигантскими шагами. Но новое научное мировоззрение завоевывало свои права в ожесточенной борьбе со старым мировоззрением, ярыми приверженцами которого были религиозные фанатики и реакционные ученые. Вначале все они отнеслись терпимо к учению Коперника, считая его систему мира лишь простой геометрической схемой, более удобной, чем система Птолемея, для вычисления положений светил на небе. Но уже к началу XVII в. религиозные круги хорошо поняли всю опасность для них учения Коперника и предприняли против него ожесточенное гонение. Так, в 1600 г. в Риме был всенародно сожжен Джордано Бруно, первый последователь и пламенный пропагандист нового учения, пришедший на его основе к выводу о множественности обитаемых миров. В 1633 г. Галилео Галилей был привлечен к суду инквизиции и вынужден был
признать свои сочинения “ересью” и отречься от них, так как в своих книгах он отстаивал справедливость системы Коперника. Но никакие преследования не могли остановить начавшегося бурного развития науки, и в то время, когда инквизиция преследовала коперниканцев, Иоганн Кеплер (1572-1630) развил учение Коперника, открыв законы движений планет, а спустя 44 года после процесса Галилея Ньютон (1643-1727) опубликовал открытый им закон всемирного тяготения и тем самым установил причину, по которой планеты движутся вокруг Солнца.
§ 40. Законы Кеплера
Кеплер был сторонником учения Коперника и поставил перед собой задачу усовершенствовать его систему по наблюдениям Марса, которые на протяжении двадцати лет производил датский астроном Тихо Браге (1546-1601) и в течение нескольких лет – сам Кеплер. Вначале Кеплер разделял традиционное убеждение, что небесные тела могут двигаться только по кругам, и поэтому он потратил много времени на то, чтобы подобрать для Марса круговую орбиту. После многолетних и очень трудоемких вычислений, отказавшись от общего заблуждения о кругообразности движений, Кеплер открыл три закона планетных движений, которые в настоящее время формулируются следующим образом: 1. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых (общем для всех планет) находится Солнце. 2. Радиус-вектор планеты в равные промежутки времени описывает равновеликие площади. 3. Квадраты сидерических периодов обращений планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их эллиптических орбит. Как известно, у эллипса сумма расстояний от какой-либо его точки до двух неподвижных точек f1 и f2, лежащих на его оси АП и называемых фокусами, есть величина постоянная, равная большой оси АП (рис. 27). Расстояние ПО (или ОA), где О – центр эллипса, называется большой полуосью а, а отношение – эксцентриситетом эллипса. Последний характеризует отклонение эллипса от окружности, у которой е = 0. Орбиты планет мало отличаются от окружностей, т.е. их эксцентриситеты невелики. Наименьший эксцентриситет имеет орбита Венеры (е = 0,007), наибольший – орбита Плутона (е = 0,247). Эксцентриситет земной орбиты е = 0,017. Согласно первому закону Кеплера Солнце находится в одном из фокусов эллиптической орбиты планеты. Пусть на рис. 27, а это будет фокус f1 (С – Солнце). Тогда наиболее близкая к Солнцу точка орбиты П называется перигелием, а наиболее удаленная от Солнца точка A – афелием. Большая ось орбиты АП называется линией апсид, а линия f2P, соединяющая Солнце и планету Р на ее орбите, – радиусом-вектором планеты. Расстояние планеты от Солнца в перигелии q = а (1 – е),(2.3)
в афелии Q = a (l + e).(2.4)
За среднее расстояние планеты от Солнца принимается большая полуось орбиты Согласно второму закону Кеплера площадь СР1Р2 , описанная радиусом-вектором планеты за время Dt вблизи перигелия, равна площади СР3Р4 , описанной им за то же время Dt вблизи афелия (рис. 27, б). Так как дуга Р1Р2 больше дуги Р3Р4 , то, следовательно, планета вблизи перигелия имеет скорость большую, чем вблизи афелия. Иными словами, ее движение вокруг Солнца неравномерно. Скорость движения планеты в перигелии
(2.5)
в афелии
(2.6)
где vc – средняя или круговая скорость планеты при r = а. Круговая скорость Земли равна 29,78 км/сек « 29,8 км/сек.
Первый и второй законы Кеплера показывают, что третье и четвертое утверждения Коперника (см. § 36) неверны. Третий закон Кеплера записывается так:
(2.7)
где Т1 и T2 – сидерические периоды обращений планет, а1 и a2 – большие полуоси их орбит. Если большие полуоси орбит планет выражать в единицах среднего расстояния Земли от Солнца (в астрономических единицах), а периоды обращений планет – в годах, то для Земли а =1 и Т = 1 и период обращения вокруг Солнца любой планеты (2.8)
Третий закон Кеплера устанавливает зависимость между расстояниями планет от Солнца и периодами их обращения.
§ 41. Элементы орбит планет. Основные задачи теоретической астрономии
Движение планеты будет вполне определено, если известны плоскость, в которой лежит ее орбита, размеры и форма этой орбиты, ее ориентировка в плоскости и, наконец, момент времени, в который планета находится в определенной точке орбиты. Величины, определяющие орбиты планеты, называются элементами ее орбиты. За основную плоскость, относительно которой определяется положение орбиты, принимается плоскость эклиптики. Две точки, в которых орбита планеты пересекается с плоскостью эклиптики, называются узлами – восходящим и нисходящим. Восходящий узел тот, в котором планета пересекает эклиптику, удаляясь от ее южного полюса. Эллиптическую орбиту планеты определяют следующие 6 элементов (рис. 28): 1. Наклонение i плоскости орбиты к плоскости эклиптики. Наклонение может иметь любые значения между 0 и 180°. Если 0 Ј i
0, но не превосходит некоторого предела vc , то точка т будет двигаться по эллипсу, в одном из фокусов которого будет находиться точка С (рис. 30). Плоскость эллипса будет проходить через точки С, т и направление скорости v0 . Форма и размеры эллипса будут различны, смотря по величине скорости v0 . При малых v0 эллипс будет сильно сжатым, его большая ось будет лишь немного больше, чем Cm, и точка С будет находиться в фокусе, далеком от m. Если скорость v0 будет близка к скорости vc , но меньше ее, то эксцентриситет эллипса будет мал, его большая полуось будет лишь немного меньше, чем Cm, точка С приблизится к центру эллипса, но останется в фокусе, далеком от т. Если начальная скорость v0 = vc и будет направлена перпендикулярно к линии Cm, то точка m будет двигаться по кругу радиуса Сm. Если v0> vc , но не превосходит некоторого предела vп = vc , то точка т будет двигаться по эллипсу, но точка С при этом будет находиться в фокусе, близком к m, а большая ось эллипса будет тем больше, чем ближе v0 к vп . Если v0 = vп = vc , то точка т будет двигаться по параболе, обе ветви которой уходят в бесконечность, приближаясь к направлению, параллельному оси Ст. По мере того как точка т будет удаляться от тела М, ее скорость будет стремиться к нулю. Если v0> vп , то точка т будет двигаться по гиперболе, ветви которой уходят в бесконечность и, при очень большой начальной скорости, приближаются к направлению, перпендикулярному к оси Ст. По мере того как точка т будет удаляться по гиперболе, ее скорость будет стремиться к некоторой постоянной величине.
Наконец, в предельных случаях, когда v0 = Ґ, точка т будет двигаться по прямой тb, а когда v0 = 0, то по прямой тС. Скорость v точки т на любом расстоянии r от точки С получается из формулы
(2.18)
где а – большая полуось эллипса. Эта формула называется интегралом энергии. Если точка m движется по кругу, т.е. r = а, то из уравнения (2.18) следует
(2.19)
а если точка m движется по параболе, то а = Ґ и (2.20)
Скорость vc называется круговой скоростью, а vп – параболической скоростью. Скорость эллиптического движения vэ заключена в пределах 0
vп . Гиперболическая орбита определяется теми же
шестью элементами, что и эллиптическая (см. § 41), только вместо большой полуоси
а = Ґ дается перигельное расстояние q. Параболическая орбита определяется пятью элементами: i,
wT . Разность
ускорений wB ѕ wT по величине примерно такая же и направлена также от центра Земли, поскольку wB
150 км). Круговая скорость на высоте h меньше первой космической скорости v1к и определяется из уравнения (2.27) или по формуле . Элементы орбиты ИСЗ зависят от места и времени его запуска, от величины и направления начальной скорости. Связь между большой полуосью а орбиты спутника и его начальной скоростью v0 , согласно интегралу энергии (2.18), определяется формулой где r0 – расстояние точки выхода ИСЗ на орбиту от центра Земли. Обычно запуск ИСЗ производится горизонтально, точнее, перпендикулярно к радиальному направлению. Эксцентриситет орбиты е при горизонтальном запуске равен где q – расстояние перигея (ближайшей точки орбиты от центра Земли). В случае эллиптической орбиты (рис. 35) q = а (1 – е) = R + hП , где hП – линейная высота перигея над поверхностью Земли. Расстояние апогея (наиболее удаленной точки орбиты от центра Земли) Q = a (l + e) = R + hA , где hA – высота апогея над земной поверхностью. Если запуск произведен в перигее (чего может и не быть), то r0 = q = R + hП .
Зависимость формы орбиты ИСЗ от начальной скорости, с которой он выведен на орбиту, показана на рис. 36. Если в точке К спутнику сообщена горизонтальная скорость, равная круговой для этого расстояния от центра Земли, то он будет двигаться по круговой орбите (I). Если начальная скорость. в точке К меньше соответствующей круговой, то спутник будет двигаться по эллипсу (II), а при очень малой скорости по эллипсу (III), сильно вытянутому и пересекающему поверхность Земли; в этом случае запущенный спутник упадет на поверхность Земли, не совершив и одного оборота. Если скорость в точке К больше соответствующей круговой, но меньше соответствующей параболической, то спутник будет двигаться по эллипсу (IV). Примерное расположение эллиптической орбиты спутника в пространстве показано на рис. 37. Здесь i – наклонение орбиты спутника к экватору Земли,