5. Распределение яркости по диску звезды.
Рис. 3
Знание функции 𝑆(τ) позволяет определить интенсивность излучения на любой оптической глубине. В частности, мы можем найти интенсивность излучения, выходящего из звезды, т.е. величину 𝐼(0,θ). Очевидно, что интенсивность излучения, выходящего из фотосферы под углом θ к нормали, представляет собой яркость диска звезды на угловом расстоянии θ от центра диска (рис. 3). Поэтому величиной 𝐼(0,θ) даётся распределение яркости по диску звезды.
Чтобы найти величину 𝐼(0,θ), надо в формуле (2.42), дающей интенсивность излучения, идущего снизу вверх (т.е. при θ<π/2), положить τ=0. Делая это и заменяя переменную интегрирования τ' на τ, находим
𝐼(0,θ)
=
∞
∫
0
𝑆(τ)
𝑒
-τsecθ
secθ
𝑑τ
.
(2.54)
Выше были получены различные приближённые формулы для функции 𝑆(τ). Посмотрим, к какому распределению яркости по диску звезды приводит каждая из этих формул.
Пользуясь для функции 𝑆(τ) формулами (2.24), (2.33) и (2.40), полученными в приближениях Шварцшильда — Шустера, Эддингтона и в первом приближении Чандрасекара, соответственно находим
𝐼(0,θ)
=
𝐹
⎛
⎜
⎝
1
2
+
cosθ
⎞
⎟
⎠
,
(2.55)
𝐼(0,θ)
=
𝐹
⎛
⎜
⎝
1
2
+
3
4
cosθ
⎞
⎟
⎠
,
(2.56)
и
𝐼(0,θ)
=
𝐹
⎛
⎜
⎝
√3
4
+
3
4
cosθ
⎞
⎟
⎠
,
(2.57)
Для отношения яркости в центре диска к яркости на краю, т.е. для величины 𝐼(0,0)/𝐼(0,π/2), эти формулы соответственно дают: 3, 2,5 и 2,7. Как мы увидим ниже, точное значение этой величины равно 2,9.
Таким образом, яркость в центре диска значительно больше яркости на краю. Объясняется это тем, что в центре диска излучение выходит в среднем из более глубоких слоёв, чем на краю.
Приведённый выше теоретический закон распределения яркости по диску звезды в общем подтверждается наблюдательными данными. Эти данные получены в основном при изучении Солнца, так как дисков других звёзд мы не видим. Некоторые сведения о потемнении диска звезды при переходе от центра к краю даёт также анализ кривых изменения блеска затменных переменных. В этом случае одна звезда периодически закрывает другую и по свечению оставшейся не закрытой части диска звезды можно судить о распределении яркости по диску.
Подчеркнём, что в этом параграфе речь шла о полных (т.е. проинтегрированных по всему спектру) яркостях. Наблюдения же дают не только распределение по диску звезды полной яркости, но и распределение яркости в различных длинах волн. Вопрос о законе потемнения диска звезды при переходе от центра к краю в различных длинах волн будет рассмотрен ниже.
§ 3. Точное решение основных уравнений
1. Уравнение для резольвенты.
Приведённое выше интегральное уравнение Милна представляет собой частный случай уравнений, довольно часто встречающихся в астрофизике. Все эти уравнения имеют ядра, зависящие от абсолютного значения разности двух аргументов. Для решения таких уравнений был предложен сравнительно простой метод, который мы сейчас и изложим (см. [5]). Затем этот метод будет использован для получения точного решения задачи о переносе излучения через фотосферу звезды. В дальнейшем тем же методом будут решены другие астрофизические задачи (об образовании линий поглощения в звёздных спектрах, о рассеянии света в атмосферах планет и т.д.).
Рассмотрим интегральное уравнение
𝑆(τ)
=
∞
∫
0
𝐾
(|τ-τ'|)
𝑆(τ')
𝑑τ'
+
𝑔(τ)
,
(3.1)
определяющее функцию 𝑆(τ) (не совпадающую, вообще говоря, с введённой ранее функцией 𝑆(τ), но имеющую аналогичный физический смысл). Здесь 𝐾(|τ-τ'|) — ядро уравнения и 𝑔(τ) —функция, характеризующая распределение источников излучения в среде. Функции 𝐾(τ) и 𝑔(τ) являются заданными и для разных задач различными (с примерами мы познакомимся позднее).
Решение уравнения (3.1) может быть представлено в виде
𝑆(τ)
=
𝑔(τ)
+
∞
∫
0
Γ(τ,τ')
𝑔(τ')
𝑑τ'
,
(3.2)
где Γ(τ,τ') — резольвента, удовлетворяющая, как известно, уравнению
Γ(τ,τ')
=
𝐾
(|τ-τ'|)
+
∞
∫
0
𝐾
(|τ-τ''|)
Γ(τ'',τ')
𝑑τ''
.
(3.3)
При этом Γ(τ,τ') является симметричной функцией от τ и τ', т.е. Γ(τ,τ')=Γ(τ',τ).
Пользуясь уравнением (3.3), мы можем получить новое уравнение для резольвенты. Для этого перепишем (3.3) в виде
Γ(τ,τ')
=
𝐾(|τ-τ'|)
+
τ
∫
0
𝐾(α)
Γ(τ-α,τ')
𝑑α
+
+
∞
∫
0
𝐾(α)
Γ(τ+α,τ')
𝑑α
.
(3.4)
Дифференцируя (3.4) сначала по τ, затем по τ' и складывая почленно полученные равенства, находим
∂Γ
∂τ
+
∂Γ
∂τ'
=
𝐾(τ)
Γ(0,τ')
+
+
∞
∫
0
𝐾(|τ-τ''|)
⎛
⎜
⎝
∂Γ
∂τ
+
∂Γ
∂τ'
⎞
⎟
⎠
𝑑τ''
.
(3.5)
С другой стороны, из уравнения (3.3) имеем
Γ(0,τ)
=
𝐾(τ)
+
∞
∫
0
𝐾(|τ-τ''|)
Γ(τ'',0)
𝑑τ''
.
(3.6)
Сравнение (3.5) и (3.6) даёт
∂Γ
∂τ
+
∂Γ
∂τ'
=
Φ(τ)
Φ(τ')
,
(3.7)
где обозначено
Γ(0,τ)
=
Φ(τ)
.
(3.8)
Из (3.7) следует (при τ'>τ):
Γ(τ,τ')
=
Φ(τ'-τ)
+
τ
∫
0
Φ(α)
Φ(α+τ'-τ)
𝑑α
.
(3.9)
Таким образом, резольвента Γ(τ,τ') выражается через функцию Φ(τ), зависящую только от одного аргумента.
Для определения функции Φ(τ) может быть использовано уравнение
Φ(τ)
=
𝐾(τ)
+
∞
∫
0
𝐾(|τ-τ'|)
Φ(τ')
𝑑τ'
,
(3.10)
представляющее собой уравнение (3.6) при учёте (3.8). Другое уравнение для определения Φ(τ) будет получено ниже.
2. Вспомогательные уравнения.
Через функцию Φ(τ) выражается решение уравнения (3.1) при любой функции 𝑔(τ). Поэтому функция Φ(τ) должна играть фундаментальную роль в теории рассматриваемых уравнений. С целью определения этой функции мы сейчас получим некоторые вспомогательные уравнения. Вместе с тем, как мы увидим дальше, эти уравнения представят интерес и сами по себе.