𝑆'(τ')
𝑑τ'
𝑆(0)
𝐾(τ)
.
(3.29)
Сравнивая между собой уравнения (3.29) и (3.10), мы видим, что
𝑆'(τ)
=
𝑘
𝑆(τ)
+
𝑆(0)
Φ(τ)
,
(3.30)
где 𝑘 — некоторая постоянная. Из (3.30) следует
𝑆(τ)
=
𝑆(0)
⎡
⎢
⎣
𝑒
𝑘τ
τ
∫
0
𝑒
𝑘(τ-τ')
Φ(τ')
𝑑τ'
⎤
⎥
⎦
.
(3.31)
Для нахождения постоянной 𝑘 рассмотрим уравнение (3.28) при τ=0. Учитывая (3.17), имеем
𝑆(0)
=
𝑏
∫
𝑎
𝐴(𝑥)
𝑑𝑥
∞
∫
0
𝑆(τ)
𝑒
-𝑥τ
𝑑τ
.
(3.32)
Умножая (3.30) на 𝑒-𝑥τ интегрируя по τ в пределах от 0 до ∞ и принимая во внимание (3.14), находим
∞
∫
0
𝑆(τ)
𝑒
-𝑥τ
𝑑τ
=
𝑆(0)
𝑆(0,𝑥)
𝑥-𝑘
.
(3.33)
Подстановка (3.33) в (3.32) даёт
𝑏
∫
𝑎
𝐴(𝑥)
𝑆(0,𝑥)
𝑥-𝑘
𝑑𝑥
=
1,
(3.34)
или, при учёте (3.21),
2
𝑏
∫
𝑎
𝐴(𝑥)
𝑥 𝑑𝑥
𝑥²-𝑘²
=
1.
(3.35)
Таким образом, решение однородного уравнения (3.28) выражается через функцию Φ(τ) формулой (3.31), в которой постоянная 𝑘 определяется уравнением (3.35).
5. Интенсивность выходящего излучения.
Вспомогательная функция Φ(τ) представляет интерес не только потому, что через неё выражается резольвента интегрального уравнения (3.1). Не менее существенно и то, что интенсивность излучения, выходящего из среды, во многих случаях также непосредственно выражается через ту же функцию.
Мы сейчас рассмотрим некоторые из этих случаев, однако предварительно получим важную общую формулу для интенсивности выходящего из среды излучения.
Рассмотрим излучение, выходящее из полубесконечной среды под углом θ к нормали. Обозначая cosθ=μ, для интенсивности этого излучения имеем
𝐼(0,μ)
=
∞
∫
0
𝑆(τ)
𝑒
-τ/μ
𝑑τ
μ
.
(3.36)
Здесь под 𝑆(τ) понимается решение интегрального уравнения (3.1) при любой функции 𝑔(τ), т.е. при любых источниках излучения.
Функция 𝑆(τ) выражается через 𝑔(τ) и резольвенту Γ(τ,τ') при помощи формулы (3.2). Подставляя (3.2) в (3.36), получаем
𝐼(0,μ)
=
∞
∫
0
𝑔(τ)
𝑑τ
μ
⎡
⎢
⎣
𝑒
-τ/μ
+
∞
∫
0
Γ(τ,τ')
𝑒
-τ'/μ
𝑑τ'
⎤
⎥
⎦
.
(3.37)
Отсюда на основании (3.12) следует:
𝐼(0,μ)
=
∞
∫
0
𝑔(τ)
𝑆
⎛
⎜
⎝
τ,
1
μ
⎞
⎟
⎠
𝑑τ
μ
.
(3.38)
Это и есть искомая формула для интенсивности излучения. Таким образом, для нахождения функции 𝐼(0,μ) при любых источниках излучения достаточно знать лишь функцию 𝑆(τ,𝑥), определённую уравнением (3.11).
Однако, как уже сказано, во многих частных случаях для определения интенсивности излучения нам должна быть известна только функция 𝑆(0,𝑥). Поскольку эта функция определяется непосредственно из уравнений (3.20) или (3.21), то для нахождения 𝐼(0,μ) в этих случаях не требуется знания функции Φ(τ).
Рассмотрим следующие частные случаи расположения источников излучения:
1. Пусть функция 𝑔(τ) убывает с оптической глубиной экспоненциально, т.е.
𝑔(τ)
=
𝑒
-𝑚τ
.
(3.39)
В данном случае, пользуясь формулой (3.19), находим
𝐼(0,μ)
=
𝑆(0,𝑚)𝑆(0,1/μ)
1+𝑚μ
.
(3.40)
2. Допустим, что источники излучения расположены в среде равномерно, т.е. 𝑔(τ)=1. В этом случае, полагая в (3.40) 𝑚=0, получаем
𝐼(0,μ)
=
𝑆(0,0)
𝑆
⎛
⎜
⎝
0
,
1
μ
⎞
⎟
⎠
.
(3.41)
Подстановка 𝑆(0,0) из (3.27) в (3.41) даёт
𝐼(0,μ)
=
𝑆
⎛
⎜
⎝
0
,
1
μ
⎞
⎟
⎠
⎡
⎢
⎣
1
-
2
𝑏
∫
𝑎
𝐴(𝑥)
𝑑𝑥
𝑥
⎤-½
⎥
⎦
.
(3.42)
3. Предположим, что 𝑔(τ)=τ. На основании формулы (3.38) имеем
𝐼(0,μ)
=
∞
∫
0
τ
𝑆
⎛
⎜
⎝
τ
,
1
μ
⎞
⎟
⎠
𝑑τ
μ
.
(3.43)
Для определения интеграла (3.43) воспользуемся уравнением (3.15). Умножая это уравнение на τ и интегрируя по τ от 0 до ∞, получаем
𝑥
∞
∫
0
𝑆(τ,𝑥)
τ𝑑τ
=
∞
∫
0
𝑆(τ,𝑥)
𝑑τ
+
𝑆(0,𝑥)
∞
∫
0
Φ(τ)
τ𝑑τ
.
(3.44)
Но из формул (3.38) и (3.41) следует
𝑥
∞
∫
0
𝑆(τ,𝑥)
𝑑τ
=
𝑆(0,0)
𝑆(0,𝑥)
.
(3.45)
Поэтому вместо (3.44) находим
𝑥
∞
∫
0
𝑆(τ,𝑥)
τ𝑑τ
=
𝑆(0,𝑥)
⎡
⎢
⎣
1
𝑥
𝑆(0,0)
+
∞
∫
0
Φ(τ)
τ𝑑τ
⎤
⎥
⎦
.
(3.46)
Для определения интеграла в правой части соотношения (3.46) умножим это соотношение на 𝐴(𝑥) 𝑑𝑥 и проинтегрируем от 𝑎 до 𝑏. Пользуясь формулой (3.22) и уравнением (3.20) при 𝑥=0, получаем
∞
∫
0
Φ(τ)
τ𝑑τ
=
𝑆²(0,0)
𝑏
∫
𝑎
𝐴(𝑥)
𝑆(0,𝑥)
𝑑𝑥
𝑥²
.
(3.47)
Заменяя в (3.46) 𝑥 на 1/μ и подставляя (3.47), окончательно находим
𝐼(0,μ)
=
𝑆(0,0)
𝑆
⎛
⎜
⎝
0,
1
μ
⎞
⎟
⎠
×
×
⎡
⎢
⎣
μ
+
𝑆(0,0)
𝑏
∫
𝑎
𝐴(𝑥)
𝑆(0,𝑥)
𝑑𝑥
𝑥²
⎤
⎥
⎦
.
(3.48)
Аналогично, пользуясь формулой (3.38) и уравнением (3.15), можно найти интенсивность излучения 𝐼(0,μ) и в случае, когда 𝑔(τ)=τ𝑛 при любом целом 𝑛.
4. Будем считать, что источники излучения расположены на бесконечно большой глубине. В этом случае функция 𝑆(τ), определяемая однородным уравнением (3.28), связана с функцией Φ(τ) соотношением (3.30). Умножая это соотношение на 𝑒-τ/μ и интегрируя по τ от 0 до ∞, находим