𝐼(0,μ)
(1-𝑘μ)
=
𝑆(0)
⎡
⎢
⎣
1
+
∞
∫
0
Φ(τ)
𝑒
-τ/μ
𝑑τ
⎤
⎥
⎦
.
(3.49)
Отсюда, при использовании формулы (3.14), следует:
𝐼(0,μ)
=
𝑆(0)
𝑆(0,1/μ)
1-𝑘μ
.
(3.50)
Мы видим, что во всех рассмотренных случаях интенсивность излучения 𝐼(0,μ) выражается через функцию 𝑆(0,𝑥) весьма простыми формулами. В дальнейшем эти формулы будут неоднократно применяться.
6. Применение к звёздным фотосферам.
Применим изложенный выше метод к решению задачи о переносе излучения через фотосферу звезды. Как мы знаем, при предположении о независимости коэффициента поглощения от частоты указанная задача сводится к интегральному уравнению Милна
𝑆(τ)
=
1
2
∞
∫
0
𝐸₁
|τ-τ'|
𝑆(τ')
𝑑τ'
.
(3.51)
Мы видим, что это уравнение является частным случаем однородного уравнения (3.28) при
𝐾(τ)
=
1
2
𝐸₁τ
=
1
2
∞
∫
1
𝑒
-τ𝑥
𝑑𝑥
𝑥
,
(3.52)
т.е. при 𝐴(𝑥)=½𝑥, 𝑎=1 и 𝑏=∞.
Применение изложенного метода должно начинаться с составления уравнения для определения функции 𝑆(0,𝑥). Для упрощения записи обозначим 𝑥=1/μ, 𝑆(0,𝑥)=φ(μ). Тогда уравнение (3.20) для данного случая принимает вид
φ(μ)
=
1
+
μ
2
φ(μ)
1
∫
0
φ(μ')
μ+μ'
𝑑μ'
.
(3.53)
Уравнение (3.53) было впервые получено В. А. Амбарцумяном другим способом. Путём численного решения этого уравнения были составлены подробные таблицы функции φ(μ). Эта функция монотонно возрастает от значения φ(0)=1 до значения φ(1)=2.9. Получено также выражение φ(μ) в явном виде * ).
* ) Подробнее об уравнениях типа (3.53) см. гл. IV.
Если функция φ(μ) известна, то может быть найдена и функция Φ(τ). Для её определения мы имеем уравнение
∞
∫
0
Φ(τ)
𝑒
-𝑠τ
𝑑τ
=
⎛
⎜
⎝
1
-
1
2
1
∫
0
φ(μ)
𝑑μ
1+𝑠μ
⎞⁻¹
⎟
⎠
-
1,
(3.54)
вытекающее из (3.25). Обращение преобразования Лапласа даёт
Φ(τ)
=
√
3
+
2
1
∫
0
𝑒-τ/μ𝑑μ
⎡
⎢
⎣ (πμ)² +
⎛
⎜
⎝ 2 + μ ln
1-μ
1+μ
⎞
⎟
⎠
²
μφ(μ)
⎤
⎥
⎦
.
(3.55)
Знание функции Φ(τ) позволяет получить как решение однородного уравнения (3.51), так и решение соответствующего ему неоднородного уравнения. Однако нас сейчас интересует только решение уравнения (3.51). Это решение определяется формулой (3.31).
Из уравнения (3.35) следует, что в данном случае 𝑘=0. Поэтому имеем
𝑆(τ)
=
𝑆(0)
⎡
⎢
⎣
1
+
τ
∫
0
Φ(τ')
𝑑τ'
⎤
⎥
⎦
.
(3.56)
Формулой (3.56) и даётся искомое точное решение интегрального уравнения Милна.
Мы можем также получить точный закон распределения яркости по диску звезды. Яркость на угловом расстоянии θ от центра диска даётся формулой (2.54). Полагая в ней cos θ=μ, приходим к формуле (3.36). Выше было показано, что интенсивность излучения 𝐼(0,μ) при источниках на бесконечности определяется формулой (3.50). Но в данном случае 𝑘=0 и 𝑆(0,1/μ)=φ(μ). Поэтому яркость на угловом расстоянии arccos μ от центра диска будет равна
𝐼(0,μ)
=
𝑆(0)
φ(μ)
.
(3.57)
Для отношения яркости в центре диска к яркости на краю находим значение φ(1)/φ(0)=2,9, уже упоминавшееся в предыдущем параграфе.
Входящую в формулы (3.56) и (3.57) величину 𝑆(0) можно выразить через поток излучения в фотосфере 𝑛𝐹. Мы имеем
𝐹
=
2
1
∫
0
𝐼(0,μ)
μ𝑑μ
=
2𝑆(0)
α₁
,
(3.58)
где использовано обозначение
α
𝑛
1
∫
0
φ(μ)
μ
𝑛
𝑑μ
.
(3.59)
Величины α𝑛, представляющие собой моменты функции φ(μ), могут быть найдены из уравнения (3.53). Интегрируя это уравнение по μ в пределах от 0 до 1, получаем
α₀
=
1
+
1
2
1
∫
0
1
∫
0
φ(μ)
φ(μ')
μ
μ+μ'
𝑑μ
𝑑μ'
=
=
1
+
1
2
α
2
0
-
1
2
1
∫
0
1
∫
0
φ(μ)
φ(μ')
μ
μ+μ'
𝑑μ
𝑑μ'
=
=
2
+
1
2
α
2
0
-
α₀
,
(3.60)
откуда следует, что
α₀
=
2.
(3.61)
Умножая (3.53) на μ²𝑑μ и интегрируя в пределах от 0 до 1, аналогично находим
α₁
=
2
√3
.
(3.62)
Подстановка (3.62) в (3.58) даёт
𝐹
=
4
√3
𝑆(0)
.
(3.63)
Эта формула, выражающая точную зависимость между величинами 𝐹 и 𝑆(0), уже приводилась в предыдущем параграфе.
Подставляя (3.63) в (3.56), находим
𝑆(τ)
=
√3
4
𝐹
⎡
⎢
⎣
1
+
τ
∫
0
Φ(τ')
𝑑τ'
⎤
⎥
⎦
.
(3.64)
Сравнение (3.64) с (2.51) даёт
𝑞(τ)
=
1
√3
⎡
⎢
⎣
1
+
τ
∫
0
Φ(τ')
𝑑τ'
⎤
⎥
⎦
-
τ.
(3.65)
Если мы подставим в (3.65) выражение (3.55), то придём к формуле, позволяющей вычислить функцию 𝑞(τ) по известным значениям функции φ(μ).
§ 4. Локальное термодинамическое равновесие
1. Поле излучения при термодинамическом равновесии.
Как увидим дальше, в теории фотосфер широко используются формулы, описывающие состояние термодинамического равновесия. Поэтому мы должны привести некоторые из этих формул. Особый интерес представляет для нас вопрос о поле излучения при термодинамическом равновесии.