sin θ
τ
∂𝐼(τ,θ)
∂θ
=-
𝐼(τ,θ)
+
𝑆(τ,θ)
.
(32.26)
Величина 𝑆 обусловлена рассеянием света, приходящим в данный объём как от звезды, так и от туманности. Она может быть представлена в виде
𝑆
=
λ
∫
𝐼𝑥(γ)
𝑑ω
4π
+
λ𝑥(θ)𝐿
16π²𝑟²
𝑒⁻
τ
,
(32.27)
где интегрирование производится по всем направлениям. Считая, что направление излучения в данном месте характеризуется полярным углом θ и азимутом φ, мы получаем
cos
γ
=
cos
θ
cos
θ'
+
sin
θ
sin
θ'
cos(φ-φ')
(32.28)
и 𝑑ω=sin θ' 𝑑θ' 𝑑φ'. Обозначая
1
2π
2π
∫
0
𝑥(γ)
𝑑φ
=
𝑝(θ,θ')
(32.29)
и
𝐿α²
16π²
=
𝐴
,
(32.30)
вместо уравнения (32.27) находим
𝑆(τ,θ)
=
λ
2
π
∫
0
𝐼(τ,θ')
𝑝(τ,θ')
sin
θ'
+
λ𝑥(θ)
𝐴
τ²
𝑒⁻
τ
.
(32.31)
Таким образом, для определения искомых функций 𝑆(τ,θ) и 𝐼(τ,θ) мы имеем уравнения (32.26) и (32.31). К ним надо ещё добавить граничное условие, выражающее собой тот факт, что нет излучения, падающего на туманность извне.
Из уравнений (32.26) и (32.31) мы можем получить интегральное уравнение, определяющее функцию 𝑆(τ,θ). Для этого надо найти величину 𝐼(τ,θ) из уравнения (32.26) и подставить её в уравнение (32.31).
В случае сферической индикатрисы рассеяния, т.е. при 𝑥(γ)=1, величина 𝑆 зависит только от τ. В данном случае упомянутое интегральное уравнение получается в виде
τ𝑆(τ)
=
λ
2
τ₀
∫
0
⎡
⎣
𝐸₁|τ-τ'|
-
𝐸₁|τ+τ'|
⎤
⎦
×
×
𝑆(τ')τ'
𝑑τ'
+
λ𝐴
τ
𝑒⁻
τ
,
(32.32)
где τ₀=α𝑟₀ — оптический радиус туманности.
При τ₀=∞ легко найти точное решение уравнения (32.32). Вводя функцию
𝑈(τ)
=
∞
∫
τ
𝑆(τ)τ
𝑑τ
,
(32.33)
мы для её решения получаем уравнение
𝑈(τ)
=
λ
2
τ₀
∫
0
⎡
⎣
𝐸₁|τ-τ'|
-
𝐸₁|τ+τ'|
⎤
⎦
×
×
𝑈(τ')τ'
𝑑τ'
+
λ𝐴𝐸₁τ
.
(32.34)
Обозначая через Γ(τ,τ') резольвенту уравнения (32.34) и полагая Γ(τ,0)=Φ(τ), мы видим, что 𝑈(τ)=𝐴Φ(τ), а значит,
𝑆(τ)
=-
𝐴
τ
Φ'(τ)
.
(32.35)
Что же касается функции Φ(τ), то она была определена ранее формулой (27.21). Пользуясь этой формулой, находим
𝑆(τ)
=
𝐴
⎧
⎨
⎩
4λ
∞
∫
1
𝑥²𝑒
-𝑥τ
𝑑𝑥
+
τ
(λπ)²
+
⎛
⎜
⎝
2𝑥
+
λ
ln
𝑥-1
⎞
⎟
⎠
²
𝑥+1
+
2𝑘²(1-𝑘²)
𝑒
-𝑘τ
⎫
⎬
⎭
,
λ+𝑘²-1
(32.36)
где величина 𝑘 связана с λ уравнением
λ
2𝑘
ln
1+𝑘
1-𝑘
=
1
.
Функция 𝑆(τ) включает в себя в виде слагаемого величину
𝑆₁(τ)
=
λ𝐴
τ²
𝑒
-τ
(32.37)
представляющую собой функцию 𝑆(τ), обусловленную рассеянием первого порядка. В табл. 50 приведены значения отношения 𝑆(τ)/𝑆₁(τ), вычисленные при помощи формул (32.36) и (32.37) для разных значений альбедо частицы λ.
Таблица 50
Значения величины 𝑆(τ)/𝑆₁(τ)
τ
λ
0,3
0,5
0,7
0,9
1,0
0
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,1
1,07
1,12
1,17
1,24
1,29
0,2
1,12
1,23
1,35
1,51
1,65
0,4
1,22
1,43
1,70
2,14
2,66
0,6
1,31
1,62
2,08
2,90
4,11
0,8
1,40
1,82
2,49
3,81
6,13
1,0
1,47
2,00
2,92
4,89
8,92
1,5
1,65
2,47
4,11
8,50
20,90
2,0
1,80
2,94
5,50
13,80
45,00
2,5
1,95
3,42
7,11
21,40
92,00
3,0
2,08
3,91
8,98
32,10
181,00
Таблица ясно показывает, какова роль рассеяний высших порядков при разных λ. При каждом λ вокруг звезды существует область, в которой рассеяния высших порядков играют меньшую роль, чем однократное рассеяние, но вне этой области положение обратное. Размеры упомянутой области тем больше, чем меньше λ. Однако надо иметь в виду, что в реальных туманностях величина τ₀ конечная, а индикатриса рассеяния отличается от сферической. Поэтому результаты, приведённые в табл. 50, по отношению к туманностям носят лишь иллюстративный характер.
Уравнения (32.26) и (32.31) при любом оптическом радиусе туманности τ₀ и при произвольной индикатрисе рассеяния 𝑥(γ) могут быть решены приближённым методом. В этом случае величина 𝑆(τ,θ) представляется в виде
𝑆(τ,θ)
=
λ𝑥(θ)
𝐴
τ²
𝑒
-τ
+
Δ
𝑆(τ,θ,𝑥₁,λ,τ₀)
,
(32.38)
где рассеяние первого порядка учитывается точно, а рассеяние высших порядков — приближённо. При этом величина Δ𝑆 зависит не от всей индикатрисы рассеяния, а только от параметра 𝑥₁ представляющего собой первый коэффициент в разложении 𝑥(γ) по полиномам Лежандра.
Рис. 44
Если функция 𝑆(τ,θ) известна, то можно легко найти распределение яркости по диску туманности (рис. 44). Обозначим через 𝐼(ρ) интенсивность излучения, выходящего из туманности на расстоянии ρ от центра диска (в прежних обозначениях это есть 𝐼(τ₀,θ₀))). Как следует из уравнения переноса излучения, величина 𝐼(ρ) равна
𝐼(ρ)
=
𝑠₀
∫
-𝑠₀
𝑆(τ,θ)
𝑒
-α(𝑠₀-𝑠)
α
𝑑𝑠
,
(32.39)
где 𝑠₀=√𝑟₀²-ρ². Переходя здесь к новой переменной интегрирования θ посредством соотношений τ=αρ/sin θ и 𝑠=ρ ctg θ, получаем
𝐼(ρ)
=
π-θ₀
∫
θ₀
𝑆
⎛
⎜
⎝
σρ
sin θ
,θ
⎞
⎟
⎠
×
×