Поток излучения 𝐻ν определяется формулой
𝐻
ν
=
2π
π/2
∫
0
𝐼
ν
(0,θ)
cosθ
sinθ
𝑑θ
,
(4.35)
вытекающей из (1.5). Подставляя в (4.35) выражение (4.28) и меняя порядок интегрирования, находим
𝐻
ν
=
2π
∞
∫
0
𝑆
ν
(τ
ν
)
𝐸₂
τ
ν
𝑑τ
ν
,
(4.36)
где 𝐸₂τν — вторая интегральная показательная функция [сравните с формулой (2.50)1.
При предположении о локальном термодинамическом равновесии в фотосфере, из (4.36) следует
𝐻
ν
=
2π
∞
∫
0
𝐵
τ
(𝑇)
𝐸₂
τ
ν
𝑑τ
ν
,
(4.37)
или
𝐻
ν
=
4πℎν³
𝑐²
∞
∫
0
𝐸₂τν𝑑τν
𝑒ℎν/(𝑘𝑇)-1
.
(4.38)
Формулы (4.31) и (4.38) справедливы при любой зависимости коэффициента поглощения от частоты. Однако чтобы воспользоваться этими формулами, необходимо знать связь между величинами 𝑇 и τν. В дальнейшем мы займёмся установлением такой связи при произвольном коэффициенте поглощения αν. Сейчас же, как и раньше, допустим, что коэффициент поглощения не зависит от частоты. В этом случае τν=τ, а связь между 𝑇 и τ даётся формулой (4.21) [или приближённой формулой (4.20)].
В указанном случае вместо формул (4.31) и (4.38) получаем
𝐼
ν
(0,θ)
=
2ℎν³
𝑐²
∞
∫
0
𝑒
-τsecθ
secθ 𝑑τ
exp
⎡
⎢
⎣
ℎν
⎛
⎜
⎝
1
+
3
τ
⎞
⎟
⎠
⎤-1/4
⎥
⎦
-1
𝑘𝑇
𝑒
2
4
(4.39)
и
𝐻
ν
=
4πℎν³
𝑐²
∞
∫
0
𝐸₂τ 𝑑τ
exp
⎡
⎢
⎣
ℎν
⎛
⎜
⎝
1
+
3
τ
⎞
⎟
⎠
⎤-1/4
⎥
⎦
-1
𝑘𝑇
𝑒
2
4
(4.40)
где использована формула (4.20).
Вычисления показывают, что распределение энергии в непрерывном спектре звезды, даваемое формулой (4.40), не сильно отличается от планковского распределения при температуре, равной эффективной температуре звезды, т.е.
𝐻
ν
≃
π
2ℎν³
𝑐²
1
𝑒ℎν/(𝑘𝑇𝑒)-1
(4.41)
Только в далёкой ультрафиолетовой области спектра имеется значительный избыток излучения по сравнению с планковским, причём он растёт с увеличением частоты ν.
Однако наблюдаемое распределение энергии в спектрах звёзд не согласуется с теоретическим распределением, даваемым формулой (4.40). При этом для звёзд разных спектральных классов расхождения между наблюдениями и теорией различны. Например, расхождения не очень велики для видимой части спектра Солнца, но очень велики для видимой части спектров звёзд классов 𝙰 и 𝙱. Объясняется это тем, что формула (4.40) написана при предположении о независимости коэффициента поглощения от частоты. Очевидно, что влияние зависимости коэффициента поглощения от частоты на распределение энергии в спектре звезды должно быть очень существенным.
Вопрос о зависимости коэффициента поглощения от частоты и о влиянии этой зависимости на вид спектра звезды будет подробно рассмотрен в двух следующих параграфах. Сейчас же мы попытаемся определить некоторые характеристики звёздной фотосферы, сохраняя допущение о независимости коэффициента поглощения от частоты. Полученные ниже результаты можно применять в качестве приближения к реальным фотосферам, если пользоваться некоторым средним коэффициентом поглощения (т.е. коэффициентом поглощения, усреднённым по частоте).
4. Зависимость температуры и плотности от глубины.
Ранее была найдена зависимость температуры от оптической глубины в фотосфере. При этом были сделаны предположения о лучистом равновесии и локальном термодинамическом равновесии. Теперь мы найдём зависимость температуры и плотности от геометрической глубины в фотосфере. Для этого нам придётся сделать ещё одно предположение — о механическом равновесии фотосферы. Очевидно, что справедливость этого предположения для подавляющего большинства звёзд не вызывает сомнений (кроме звёзд типа Вольфа — Райе, новых и подобных им звёзд, которых мы сейчас рассматривать не будем).
Будем считать, что каждый элемент объёма в фотосфере находится в равновесии под действием двух сил: силы тяготения и силы газового давления (световым давлением пока пренебрегаем). Приравнивая эти силы друг другу, получаем уравнение гидростатического равновесия
𝑑𝑝
=-
𝑔ρ
𝑑𝑟
,
(4.42)
где 𝑝 — давление, ρ — плотность и 𝑔 — ускорение силы тяжести в фотосфере.
Очевидно, что газ в фотосфере можно считать идеальным. Поэтому к уравнению (4.42) добавим ещё уравнение состояния идеального газа:
𝑝
=
𝑅*
μ
ρ𝑇
,
(4.43)
где μ — средний молекулярный вес и 𝑅* — газовая постоянная.
Считая, что μ не меняется в фотосфере, из (4.42) и (4.43) находим
𝑅*
μ
𝑑(ρ𝑇)
=-
𝑔ρ
𝑑𝑟
.
(4.44)
Воспользуемся также полученной выше связью между температурой 𝑇 и оптической глубиной τ. Приближённая связь между этими величинами даётся формулой (4.20), из которой следует
𝑑𝑇⁴
=-
3
4
𝑇
4
𝑒
α
𝑑𝑟
.
(4.45)
Здесь под α, как уже сказано, может пониматься средний коэффициент поглощения.
Из двух последних уравнений можно найти ρ и 𝑇 в виде функций от 𝑟. Но для этого надо задать зависимость α от ρ и 𝑇. Мы положим α=ϰρ и будем сначала считать, что ϰ=const. Тогда из уравнений (4.44) и (4.45) получаем
𝑑(ρ𝑇)
=
3
4
𝑔μ
ϰ𝑅*
𝑑𝑇⁴
𝑇
4
𝑒
,
(4.46)
или, после интегрирования,
ρ
=
4
3
𝑔μ
ϰ𝑅*
𝑇⁴
-
𝑇
4
0
𝑇
4
𝑒 𝑇
,
(4.47)
где 𝑇₀ — поверхностная температура звезды.
В глубоких слоях фотосферы, где 𝑇⁴≫𝑇₀⁴ плотность оказывается связанной с температурой соотношением