ρ
=
4
3
𝑔μ
ϰ𝑅*
𝑇³
𝑇
4
𝑒
.
(4.48)
Подставляя (4.48) в (4.44), находим следующую формулу для градиента температуры:
𝑑𝑇
𝑑𝑟
=-
𝑔μ
4𝑅*
.
(4.49)
Уравнения (4.44) и (4.45) могут быть легко решены и при более общих предположениях относительно α. Допустим, например, что
α
~
ρ²
𝑇𝑠
,
(4.50)
где 𝑠 — некоторый параметр (такая формула для α, как увидим в § 5, действительно встречается). Тогда вместо (4.48) и (4.49) получаем
ρ
~
𝑇
(𝑠+3)/2
(4.51)
и
𝑑𝑇
𝑑𝑟
=-
2
𝑠+5
𝑔μ
𝑅*
.
(4.52)
Применим полученные выше формулы к фотосфере Солнца. Полагая в формуле (4.49) 𝑔=2,7⋅10⁴, μ=1, 𝑅*=8,3⋅10⁷, находим: 𝑑𝑇/𝑑𝑟=-10⁻⁴ кельвинов/см. Следовательно, при углублении в фотосферу Солнца на 1 км температура возрастает на 10 кельвинов.
Из полученных формул можно также найти величину |𝑑𝑟/𝑑τ|. т.е. геометрическую толщину слоя единичной оптической толщины. Подставляя в формулу 𝑑τ=-ϰρ 𝑑𝑟 выражение (4.48), находим
𝑑𝑟
𝑑τ
=-
3
4
𝑅*𝑇𝑒
𝑔μ𝑇³
.
(4.53)
Если мы положим здесь 𝑇=𝑇𝑒 то величина |𝑑𝑟/𝑑τ|. будет характеризовать собой толщину фотосферы. В случае Солнца толщина фотосферы оказывается порядка 100 км. Так как радиус Солнца равен 700 000 км, то мы убеждаемся в том, что толщина фотосферы гораздо меньше радиуса. Этим результатом мы уже пользовались раньше, считая фотосферные слои плоскопараллельными.
5. Световое давление в фотосфере.
При рассмотрении механического равновесия фотосферы мы не приняли во внимание световое давление. Оценим теперь роль светового давления в фотосфере, найдя отношение светового давления к газовому. Для этого получим сначала общие формулы, определяющие силу светового давления. В дальнейшем эти формулы нам понадобятся для применения не только к фотосфере, но и к другим объектам.
Как известно, каждый фотон обладает количеством движения, равным ℎν/𝑐 Если фотон поглощается атомом, то атом получает количество движения ℎν/𝑐 в направлении движения фотона. Этим и вызывается давление излучения на атомы.
Возьмём элементарный объём с площадью основания 𝑑σ и толщиной 𝑑𝑟. Допустим, что на объём падает излучение со всех сторон, и найдём силу светового давления, действующую на объём в направлении нормали к основанию. Рассмотрим сперва излучение, падающее на объём под углом θ к нормали внутри телесного угла 𝑑ω в интервале частот от ν до ν+𝑑ν в течение промежутка времени 𝑑𝑡. Если интенсивность излучения есть 𝐼ν, то количество энергии, падающее на объём, будет равно 𝐼ν 𝑑σ cosθ 𝑑ω 𝑑ν 𝑑𝑡. Однако не вся эта энергия производит давление на объём, а только часть её, поглощаемая объёмом. Так как путь фотонов в объёме равен 𝑑𝑟 secθ, то количество поглощаемой объёмом энергии равно αν 𝐼ν 𝑑σ 𝑑𝑟 𝑑ω 𝑑ν 𝑑𝑡. Чтобы найти количество движения, получаемое объёмом в направлении нормали к основанию, надо эту энергию умножить на cosθ/𝑐. Следовательно, указанное количество движения будет равно
cosθ
𝑐
α
ν
𝐼
ν
𝑑σ
𝑑𝑟
𝑑ω
𝑑ν
𝑑𝑡
.
Интегрируя это выражение по всем частотам и по всем направлениям, получаем полное количество движения, приобретаемое объёмом за время 𝑑𝑡. Оно равно
1
𝑐
𝑑σ
𝑑𝑟
𝑑𝑡
∫
α
ν
𝑑ν
∫
𝐼
ν
cosθ
𝑑ω
,
или
1
𝑐
𝑑σ
𝑑𝑟
𝑑𝑡
∫
α
ν
𝐻
ν
𝑑ν
.
(4.54)
Обозначим через
𝑓
𝑟
𝑑σ
𝑑𝑟
𝑑𝑡
(4.55)
импульс силы светового давления, действующей на объём 𝑑σ𝑑𝑟 за время 𝑑𝑡. Из основного закона механики следует, что два последние выражения должны быть равны друг другу. Поэтому получаем
𝑓
𝑟
=
1
𝑐
∫
α
ν
𝐻
ν
𝑑ν
.
(4.56)
Этой формулой даётся сила светового давления, действующая на единицу объёма.
Силу, действующую на элементарный объём, можно также представить как разность давлений на основания объёма. Обозначая через 𝑝𝑟 световое давление, мы можем записать эту силу в виде
-
𝑑𝑝
𝑟
𝑑σ
𝑑𝑡
.
(4.57)
Приравнивая друг другу выражения (4.54) и (4.57), находим
𝑑𝑝𝑟
𝑑𝑟
=-
1
𝑐
∫
α
ν
𝐻
ν
𝑑ν
.
(4.58)
Применим последнюю формулу к звёздной фотосфере. Считая, как и раньше, что коэффициент поглощения не зависит от частоты, вместо (4.58) получаем
𝑑𝑝
𝑟
=-
1
𝑐
𝐻α
𝑑𝑟
,
(4.59)
или, пользуясь (4.18),
𝑑𝑝
𝑟
=-
𝑎
4
𝑇
4
𝑒
α
𝑑𝑟
.
(4.60)
Сравнение (4.60) с (4.45) даёт
𝑝
𝑟
=
1
3
𝑎
𝑇⁴
.
(4.61)
Итак, в рассматриваемом случае для светового давления получается такое же выражение, как и при термодинамическом равновесии.
Выше мы считали, что фотосфера находится в равновесии под действием тяготения и газового давления, и поэтому в уравнении (4.42) под 𝑝 понималось только газовое давление. Будем теперь понимать под 𝑝 сумму газового давления 𝑝𝑔 и светового давления 𝑝𝑟. Тогда уравнение (4.42) запишется в виде
𝑑(𝑝
𝑔
+𝑝
𝑟
)
=-
𝑔ρ
𝑑𝑟
.
(4.62)
Пользуясь уравнениями (4.62) и (4.45), а также выражением (4.43) для газового давления и выражением (4.61) для светового давления, можно получить, как и выше, распределение температуры и плотности в фотосфере. Однако мы не будем делать этого, а найдём лишь отношение светового давления 𝑝𝑟 к полному давлению 𝑝=(𝑝𝑔+𝑝𝑟) Разделив (4.59) на (4.42) и положив α=ϰρ, получаем
𝑑𝑝𝑟
𝑑(𝑝𝑔+𝑝𝑟)
=
ϰ𝐻
𝑔𝑐
.
(4.63)
Полный поток излучения 𝐻 постоянен в фотосфере. Мы примем, что и ϰ=const. В этом случае интегрирование даёт